数学 ２次方程式の解の配置

質問

解の配置問題の解き方に困っています。

【問】２次方程式x^2-2（2-k）x＋k＝0の解がいずれも-1以下であるような
実数kの範囲を定めよ

平方完成した後の手順として参考書には
｛x-（2-k）｝^2-k^2＋5k-4のグラフが
図1（添付画像）の様な範囲になればよいから
頂点のy座標：-k^2＋5k-4・・・(1)
軸の位置：2-k≧-1・・・(2)
端点値の符号：f（-1）＝1＋2（2-k）＋k≧0・・・(3)
という条件を考えればいいetc・・と一連の流れが書いてあるものの
何故そうなるのかさっぱり分かりません。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞【問】２次方程式x^2-2（2-k）x＋k＝0……(*)の解がいずれも-1以下であるような
＞ 実数kの範囲を定めよ

f(x)＝x^2-2（2-k）x＋k　とおくと、
(*)は２つの実数解をもつから、判別式D/4＝(2-k)^2-1・k≧0より、
k^2-5k+4≧0（頂点のｙ座標≦0と同じ）だから、k≧1，4≦k　……(1)　

(*)の２つの解は-1以下だから、２解をα，βとすると、
α≦-1，β≦-1だから、α＋β≦-2
解と係数の関係より、α＋β＝2(2-k)だから、2(2-k)≦-2（軸≦-1と同じ）
よって、k≧3　……(2)　

f(x)のグラフは下に凸な放物線だから、２解α，βではf(α)=f(β)=0で、
α≦βとすると、グラフのx=βも含めて右側は単調増加だから、
β≦-1より、f(β)≦f(-1)だから、0≦f(-1)
よって、f(-1)＝1+2(2-k)+k≧0より、k≦5　……(3)

よって、(1)(2)(3)の共通範囲は、4≦k≦5

判別式や解と係数の関係からもグラフを使うときと同じ条件が出てきます。
それと、0≦f(-1)はグラフからわかります。

k=4のときは、重解でx=0，k=5のときは、大きいほうの解がx=-1

お礼

回答有り難うございます。

回答No.1

suko22

x^2-2（2-k）x＋k＝0の解の配置
この方程式の解がいずれも-1以下

この方程式の左辺をｆ（ｘ）＝x^2-2（2-k）x＋kと置くと、上記２次方程式の解は、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフとｘ軸の交点のｘ座標と同じであるといえます。（∵ｘ軸との交点のｘ座標を求めるにはｙ＝0を代入して求めるから）

だから、２次方程式の解がいずれも-1以下⇔ｙ＝ｆ（ｘ）のｘ軸との交点のｘ座標がいずれも-1以下となります。

ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフとｘ軸との交点がいずれも-1以下になるには、質問者さん添付図のようなグラフになる必要があります。そのための条件が(1)から(3)です。

(1)頂点のｙ座標：-k^2＋5k-4≦0・・・(1)
　これはｙ＝ｆ（ｘ）とｘ軸とが交点を持つ条件です。ｘ軸との交点がないと解が無いことになってしまいます。
　なお、ｘ軸との交点を持つ条件は判別式をつかってもいいです。Ｄ≧0（Ｄ/4≧0）

(3)端点値の符号：f（-1）＝1＋2（2-k）＋k≧0・・・(3)
　これはグラフをみればそうならなければならないのはすぐわかると思います。

(2)軸の位置：2-k≧-1・・・(2)
　これは、(1)と(3)の条件だけだと、ｘ軸との交点がいずれも-1以下、または-1以上のどちらかになります。これを-1以下の条件だけに絞るための条件です。

お礼

回答有り難うございます。