多重極板と電位

質問

図の状態からKを開き、次にSを閉じたときのBの電位とAの電位を求めよ

解き方を教えてください

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回答No.1

Tann3 · ベストアンサー

あれ？　質問を再投稿されました？　内容は変わっていないですよね？

　基本的には、最初の状態はコンデンサーが３個直列接続ですが、Ｓを導通させるとコンデンサーが２個に減る、という考え方で解きます。
　コンデンサーが３個から２個に減るとき、電源は既に切り離されていますから、最初に充電された電荷がそのまま一定で保持され、コンデンサーの容量が変化した分、電圧が変化することになります。（電源が入ったままだと、電圧一定で必要な電荷が補充される）

　では、順を追って計算しましょう。

１．初期状態（電源が接続されている）
（１）コンデンサー全体の電圧がＶです。ここに電荷Q0が充電されているとすると、コンデンサー全体（Ａ～Ｄ直列の合計）の容量をC0として、
　　　　　Ｖ＝Ｑ0／Ｃ0
となります。

（２）コンデンサー全体（Ａ～Ｄ直列の合計）は、ＡＢ間、ＢＣ間、ＣＤ間の3つのコンデンサーが直列に接続されていると考えることができます。次に、これら３つのコンデンサー各々の電圧に分解してみましょう。
　電極Ａのプラス側（回路図の左側）と電極Ｄのマイナス側（右側）には、電荷Ｑ0が帯電しています。ということで、Ａの右側に－Ｑ0、Ｂの左右に各々＋Ｑ0／－Ｑ0、同様にＣの左右に各々＋Ｑ0／－Ｑ0、Ｄの左側に＋Ｑ0が帯電していることになります。

　静電容量は電極の面積が同じであれば電極間の間隔に反比例しますので、電極ＡＢ間の静電容量は　６Ｃ0、電極ＢＣ間は　３Ｃ0、電極ＣＤ間は　２Ｃ0　ということになります。

　従って、各電極間の電圧と電荷の関係は、次のようになります。これで、値のわからない　Ｑ0　と　Ｃ0　が消えますね。

ＡＢ間：　ＶＡＢ＝Ｑ０／６Ｃ0　＝（１／６）Ｖ
ＢＣ間：　ＶＢＣ＝Ｑ０／３Ｃ0　＝（１／３）Ｖ
ＣＤ間：　ＶＣＤ＝Ｑ０／２Ｃ0　＝（１／２）Ｖ

　３つの電圧を足し合わせると、

　　　　ＶＡＢ＋ＶＢＣ＋ＶＣＤ＝Ｖ＝Ｑ0／Ｃ0

となりますね。

　各電極の電圧をＶを使って表すと、

　　Ｄ＝　０
　　C＝　（１／２）Ｖ
　　Ｂ＝　（１／２）Ｖ　＋　（１／３）Ｖ　＝　（５／６）Ｖ
　　Ａ＝　（５／６）Ｖ　＋　（１／６）Ｖ　＝　Ｖ

となります。

（３）ここでスイッチＫを開いても、この電荷の充電状態は維持されます。
　次にスイッチＳを導通させると、ＶＢＣがゼロに変化します。
　しかし、電荷の移動はありませんので、ＡＢ間、ＣＤ間の電圧は変化しません。

　従って各電極の電圧は、

　　Ｄ＝　０
　　C＝Ｂ＝　（１／２）Ｖ
　　Ａ＝　（１／２）Ｖ　＋　（１／６）Ｖ　＝　（２／３）Ｖ

となります。
　結果として、電極ＢＣが同電位となったことから、この間隔２ｄ分だけ電極ＡＤの間隔が狭くなり、間隔４ｄのコンデンサーになった、ということです。
　最初に書いたとおり、電源は接続されていないので電荷の供給はなく、コンデンサーの容量が（３／２）Ｃ０に増えたことから、全体の電圧が

　　　　　　ＶＡＤ＝　Ｑ０　／　（３／２）Ｃ０　＝　（２／３）Ｑ０／Ｃ０　＝　　（２／３）Ｖ

に下がる、ということです。

　以上で、よろしいでしょうか。

補足

各電極の電圧をＶを使って表すと、
Ｄ＝０
C＝（１／２）Ｖ
Ｂ＝（１／２）Ｖ　＋　（１／３）Ｖ＝（５／６）Ｖ
Ａ＝（５／６）Ｖ　＋　（１／６）Ｖ＝Ｖ

となるのはなぜですか？

回答No.5

Tann3

No.4です。

>補足

>電極ＣＤ間の電位差が
>　　ＶＣＤ＝Ｑ０／２Ｃ0　＝（１／２）Ｖ
>だと、
>電極Ｃの電位が　（１／２）Ｖ
>となるのはなぜですか？

（回答）
　電極Ｄの電位が　０（ゼロ）　ボルト、電極ＤとＣとの間の電位差が　（１／２）Ｖ　ボルト　であれば、
電極Ｃの電位は　何ボルト　ですか？

　０　＋　（１／２）Ｖ　＝　（１／２）Ｖ　（ボルト）

ですよね。単なる足し算の話です。

補足

電位差の名の通りＡ－Ｂ=ＶＡＢとなってたんですね
分かりました

No.1で
C＝Ｂ＝　（１／２）Ｖとなるのはなぜですか？
後の文章から見て、ＢとＣが等電位でＣがＶ/2だからＢもＶ/2としたわけじゃないようですし

回答No.4

Tann3

No.1です。

＞補足

＞各電極の電圧をＶを使って表すと、
＞Ｄ＝０
＞C＝（１／２）Ｖ
＞Ｂ＝（１／２）Ｖ　＋　（１／３）Ｖ＝（５／６）Ｖ
＞Ａ＝（５／６）Ｖ　＋　（１／６）Ｖ＝Ｖ

＞となるのはなぜですか？

（回答）
　電極Ｄは接地されているので、電位はゼロです。

　電極ＣＤ間の電位差は
　　ＶＣＤ＝Ｑ０／２Ｃ0　＝（１／２）Ｖ
なので、電極Ｃの電位は　（１／２）Ｖ　です。

　電極ＢＣ間の電位差は
　　ＶＢＣ＝Ｑ０／３Ｃ0　＝（１／３）Ｖ
なので、電極Ｂの電位は、電極Ｃの電位にこれをプラスして、
　　（１／２）Ｖ　＋　（１／３）Ｖ＝（５／６）Ｖ
ということです。

　さらに、電極ＡＢ間の電位差は
　　ＶＡＢ＝Ｑ０／６Ｃ0　＝（１／６）Ｖ
なので、電極Ａの電位は、電極Ｂの電位にこれをプラスして、
　　（５／６）Ｖ　＋　（１／６）Ｖ＝Ｖ
となります。

　各電極は、左側表面に－Ｑ0、右側表面に＋Ｑ0の電荷が帯電していますが、電極全体は導体なので同じ電位です。

　ということでご理解いただけましたか？

補足

電極ＣＤ間の電位差が
　　ＶＣＤ＝Ｑ０／２Ｃ0　＝（１／２）Ｖ
だと、
電極Ｃの電位が　（１／２）Ｖ
となるのはなぜですか？

回答No.3

178-tall

>Aの電位は2/3となっています

このミスが元凶。

C2d = (1/2)Cd

以下、#1 さんのと同じになりました。
お粗末。

お礼

分かりました ありがとうございました

回答No.2

178-tall

まず、直列につながっている三つのコンデンサを上から順に Cd, C2d, C3d と命名。
Cd, C2d, C3d は各電極間隔に反比例するので、Cd：C2d：C3d = 3：2：1 。
つまり Cd を基準とした場合、C2d = (2/3)Cd, C3d = (1/3)Cd 。

「図の状態」{K on, S off} にした直後、三コンデンサに同量の充電電流が流れて定常状態に達し、同量の電荷 Q が充電されるだろう。
その結果、Cd, C2d, C3d の両端電位差はそれぞれ Q/Cd , Q/C2d = (3/2)Q/Cd, Q/C3d = 3Q/Cd 。
総和は電源電圧 V らしいから、V = Q/Cd + (3/2)Q/Cd + 3Q/Cd = (11/2)Q/Cd 。
これから、各コンデンサの両端電位差は
　Vd = Q/Cd = (2/11)V
　V2d = Q/C2d = (3/11)V
　V3d = Q/C3d = (6/11)V
これが、「図の状態」における各コンデンサの両端電位差。

「図の状態から K を開き、次に S を閉じた」とき、C2d の電荷は S で放電され、K は開いているので再充電はされず、Cd, C3d の電荷量はそのまま。
つまり、
　Vd = Q/Cd = (2/11)V
　V3d = Q/C3d = (6/11)V　　… B & C の電位
A の電位は、V3d + Vd = (8/11)V になる勘定かな？

補足

すみません Aの電位は2/3となっています