連立不等式

質問

解説をお願いします！

連立不等式　　2x+3>x+5
X+a>3x+1
を満たす整数xがただ1つだけであるような整数aの値をすべて求めなさい。(aを定数とする)

回答No.4

asuncion · ベストアンサー

(2)よりx < (1/2)(a - 1) ... (*)

で、(1/2)(a - 1)は3より大きくないといけないことがわかりました。
さて、どこまで大きくなれるでしょうか。
(1/2)(a - 1)が「ちょうど4」の場合を考えてみましょう。
このとき、(*)はx < 4となり、
xのとり得るべき値は「2より大きくて4より小さい整数」となり、
3がまさにこれに該当しますね。しかも、3「ただ1つのみ」です。
つまり、(1/2)(a - 1)は「ちょうど4になってかまわない」のです。
(1/2)(a - 1)が4を超えてしまうと、xの値は3「ただ1つのみ」でなくなってしまいます。
∴3 < (1/2)(a - 1) ≦ 4
が成り立ち、、これを整理すると7 < a ≦ 9より、条件をみたす
整数aは8か9となるのです。

お礼

詳しく教えていただき、ありがとうございました。 とても分かりやすかったです。

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補足

ありがとうございます！
よく分かりました。

回答No.3

asuncion

さて、連立不等式をみたす整数xは3のみであることがわかりました。
次は、問題の
(2)よりx < (1/2)(a - 1) ... (*)
をどう解釈するかです。
もし、(1/2)(a - 1)の値が「ちょうど3」だったら、どうなるでしょう。
(*)の式は
x < 3となり、「2より大きく、かつ、3より小さい」整数は存在しませんから、
(1/2)(a - 1)は「ちょうど3」は取れないことがわかりました。
なので、(1/2)(a - 1)は3より大きくないといけないのです。
ここまでで、
3 < (1/2)(a - 1)でなければならないことがわかりました。
ここまではいいですか？

補足

はい、そこまでよく分かりました。

回答No.2

asuncion

だって、(1)からいえる「2より大きい」整数が「ただ1つ」に定まるんやから、
それはx = 3しかないやん。例えばx = 4もOKやったら
3と4の2個になるやん。
ここまではどう？

補足

X>2だから、そうですね。
そこまで分かります。

回答No.1

asuncion

2x + 3 > x + 5 ... (1)
x + a > 3x + 1 ... (2)

(1)よりx > 2
(2)よりx < (1/2)(a - 1) ... (*)
これらを同時にみたすような整数xがただ1つのとき、それはx = 3である。
よって(*)より
3 < (1/2)(a - 1) ≦ 4 ... (※)であればよい。
6 < a - 1 ≦ 8
7 < a ≦ 9
これをみたす整数aは8, 9
「なんで(※)で等号が入ったり入らんかったりすんの？」って
疑問に思うたんやったら、aにいろんな整数値を入れて
実験してみること。

補足

よく分かっていなくて申し訳ないのですが、
これらを同時にみたすような整数xがただ1つのとき、それはx = 3である。
何故3であると言えるのか、ここから下の説明をお願いしたいです。