相対論の投げ上げ

質問

光速に限りなく近い速度で地表から斜め45度に投げ上げを行った際、最高到達点はどのように表せるのでしょうか？

条件として、重力場は無限に存在して脱出しない場合を考えます。地表も無限に平坦であるとしてください。

回答No.2

noname#175206 · ベストアンサー

特殊相対論で解くのであれば、ある平面上において、慣性系S1に対して、角度θ、速度vで運動する慣性系S2（投げ上げられた物体）を設定し、それに対してθ＝0なる等加速度運動する系もしくは物体（S2に対する地表）を考えることになるかと思います。

　ただ、ちょっと具体的にやるのは、少々面倒くさそうだなあ、という気がしています。

　それは、加速度運動と重力が等価なことから生じる問題です。違う設定で申し訳ないのですが、等加速度aで直線運動する物体に対して、それを追いかける光について考えると、ある一定距離（c^2/a）以上離れた光は物体に追いつけません。

　確か、それをブラックウォールと呼ぶんだったかと思いますが、ブラックホールの事象の地平面と同じようなものです。端的には、そういう状況があるので、たぶん具体的な計算が嫌いな（と書いて「かならずまちがえる」と読むorz）私では無理そうです。

　それでなくとも、脱出速度は考えねばなりません。重力加速度（＝追跡する等加速度系）が弱ければ、物体は「落ちて」きません。

P.S.

　どこまでも続く一様な重力場を設定するのは、やめたほうがいいです。等加速度直線運動する物体に追いつけない光があるという状況は、等加速度直線運動する物体が運動方向と水平には等しい重力と等価であっても、加速度方向と反対向きには、距離が離れるるほど、重力が強くなるということとと等価だということを示しています。

　それを、特殊相対論の範疇でたとえると、剛体が存在するという状況に似ています。特殊相対論的には剛体は存在しません。もし剛体があるとして相対論で考察すると、たとえばローレンツ収縮できないために、どんなに強い力で押しても、ぴくりとも動きません。あるいは、本当に解けないパラドクスが発生します。

お礼

ご回答ありがとうございます。

十把一絡げに解けるというものでもなさそうですね。もうちょっと詳しく相対論の勉強が必要ですね。
ありがとうございます。

回答No.3

tadys

＞地表も無限に平坦であるとしてください。
という事は重力の強さは地表からの高さによらずに一定として良いのかな？

＞光速に限りなく近い速度で
光速に限りなく近い速度でという事であれば、運動エネルギーは無限大に限りなく近い事になります。
それであれば、無限の時間をかけて無限の高さに到達するでしょう。
無限の高さに到達した時には運動エネルギーがゼロになり重力に引かれて地表に落下します。
無限の高さから落下するので地表に到達するまでには無限の時間がかかります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

仰る通り、運動エネルギー無限大となることは予想してました。
そうすると解けないため、例えば加速器で光速付近まで加速した陽子を自由空間に放り出したらどうなるんでしょうか？？
宇宙空間まで吹っ飛んでくんですか？？

回答No.1

eatern27

一様電場E(y方向)中を、電荷qが運動
m:電荷qの質量
u_x0:質点の電場垂直方向の初速度の1/c倍
u_y0:質点の電場平行方向の初速度の1/c倍
γ_0=1/√(1-ux_0^2-u_y0^2)

として、特殊相対論から最高点の高さhを求めると
h=(mc^2/qE)γ_0(1 - √(1-u_y0^2))
になります。

重力場があると色々面倒なので、きちんと考えていないですが、ご質問の条件なら
電場Eを重力加速度g、電荷qを(重力)質量mと読み替えれば、ご質問の答えになっているだろうと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。

なるほど。しかし、γ_0はかける必要があるのでしょうか？