関数f(x)について

質問

どんな１次関数f(x)についても
不等式{∫¹₀　f(x)dx}²<∫¹₀　{f(x）}²dxが成り立つことを証明しろ

です。解説をお願いします

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

任意の一次関数 f(x) = ax + b について考える。
{∫[x=0～1]f(x)dx}^2
={∫[x=0～1](ax + b)dx}^2
={∫[x=0～1][ax^2/2 + bx]}^2
=(a/2 + b)^2
=a^2/4 + ab + b^2 …… (1)

∫[x=0～1]{f(x)}^2dx
=∫[x=0～1](ax + b)^2dx
=∫[x=0～1](a^2・x^2 + 2abx + b^2)dx
=∫[x=0～1][a^2・x^3/3 + abx^2 + b^2・x]
=a^2/3 + ab + b^2 …… (2)

(1)－(2)
=－a^2/12<0

Q.E.D.

回答No.2

asuncion

任意の一次関数 f(x) = ax + b について考えたとき、
a ≠ 0ですから、
(1)－(2)
=－a^2/12<0
これがいえます。念のため。