状態方程式で等温変化のとき

質問

高校生です。

PV=NRTにおいて、等温変化のとき、
ΔPΔV＝NRTでなく、
Δ(PV)＝NRT
⇔P・ΔV+ΔP・V＝NRTになるのは何故でしょうか？

よろしくおねがいします。

回答No.1

ElectricGamo · ベストアンサー

P・ΔV+ΔP・V＝0 ではないですか？

温度一定の場合、圧力と体積の変化量をΔPとΔVとし、Nの変化量をΔNとすると、変化後の状態方程式は

(P+ΔP)(V+ΔV)=(N+ΔN)RT

ですから、これから、変化前の状態方程式PV=NRTを辺々引くと

P・ΔV+ΔP・V+ΔP・ΔV＝ΔN・RT

となります。ΔPとΔVが十分小さいならその積ΔP・ΔVは他の項と比べて無視できるので、P・ΔV+ΔP・V＝ΔN・RT です。また、外部と物質のやり取りがなく、物質の生成と消滅もなければΔN=0なので P・ΔV+ΔP・V＝0 です。

お礼

ありがとうございます。

＞P・ΔV+ΔP・V＝0 ではないですか？

ではなかったです。
一定量の気体という前提なので(かかなくてごめんなさい)、Nも変化しないのです。

あと、デルタは微分の記号として参考書にでてきています。

よくわかりませんね・・・。

ElectricGamoさんがいうのだから、なんか参考書が間違っていそうですね。
学校の先生にも持っていってみます。

回答No.5

KENZOU

＃２のKENZOUです。
ElectricGamoさん、keyguyさんの回答をみると、＃２の回答は確かにおかしいですね。それではなぜそのような回答をしたのかと思い返すと、Δ(PV)＝NRT でこれを恒等式のように勘違いしたのがミスの元。つまり左辺は圧力と体積を変化させた後の系の物理量の変化分と考えたのですね。高校物理ということですから、そのような事を考えるのかなぁと、、、いや、お騒がせしました。

お礼

ご回答有り難うございました。
やはり質問の式が違っているのですね。

参考にさせていただきます。

回答No.4

keyguy

P・V=N・R・T…(*)
において
NとRとTは一定なので
PがP+ΔPに変化しVがV+ΔVに変化したとすると
その場合でも法則が成り立つから
(P+ΔP)・(V+ΔV)=N・R・T
すなわち
P・V+P・ΔV+V・ΔP＋ΔP・ΔV=N・R・T
この式から(*)を辺々引いて
P・ΔV+V・ΔP＋ΔP・ΔV=0
ここでΔP・ΔVはうんと小さく無視できるから
P・ΔV+V・ΔP=0
決して
P・ΔV+V・ΔP=N・R・T
ではありません

お礼

ご回答ありがとうございます。
やっぱり参考書が違うようですね。
参考にさせていただきます。

回答No.3

ElectricGamo

再び#1です。

圧力も体積も何も変化させない場合(最初の状態)では ΔP=0かつΔV=0ですので、P・ΔV+ΔP・V＝NRTが正しいなら、P・ΔV+ΔP・V=P・0+0・V＝0から0=NRT となってしまいます。変ですよね。

PV=NRTにおいて、左辺の微分を取るのであれば右辺の微分も取らないと等式は成立しないので、正確には、

Δ(PV)＝Δ(NRT)
⇔P・ΔV+ΔP・V＝ΔNRT+NRΔT

とならなくてはいけません。お聞きした条件ではΔT=0かつΔN=0ですので右辺は0になります。ですので P・ΔV+ΔP・V=0です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

やはり参考書がおかしいのですね。
参考にさせていただきますm(__)m

回答No.2

KENZOU

Δ(PV)＝NRTの意味ですが、圧力と体積の積の微分を取っていますから、これは圧力Pと体積Vをそれぞれ独立に変化させた場合の和を意味します。
△(PV)＝(△P)V＋P（△V)で右辺第１項は体積を変えずに圧力を僅かに変化させた場合の物理量の変化分で第2項は同様に圧力を変えずに体積Vを僅かに変化させた場合の物理量の変化分です。系の圧力と体積を僅かに変化させた場合の物理量の変化分はこれら変化分の和として表されますから、
Δ(PV)＝NRT
⇔P・ΔV+ΔP・V＝NRT
となります。
になります。

積の微分温度一定の場合の