等温変化について

質問

質量ｍ、分子量M、モル気体定数Rの理想気体が圧力P1からP2まで等温膨張したことによりWの仕事を行った。この時次の値を求めよ。
1）膨張前の気体の体積
2）膨張前の気体の温度
３）与えられた熱量
４）エントロピーの変化量
どうしても未知数が残ってしまい解けません。よろしくお願いします

回答No.4

rnakamra · ベストアンサー

#1での解き方。

膨張前の体積をV1、物質量をn=m/Mとする。このときの温度Tは
P1*V1=nRT → T=P1*V1/(nR)
となります。

膨張後の体積V2は
P2*V2=nRT=P1*V1 →　V2=(P1/P2)V1　　(最初からボイルの法則を使ったほうが早いが)

膨張中のpとVの関係は
pV=nRT=P1*V1 →　p=P1*V1/V

後は
W=∫[V1,V2]pdV
を計算するとV1についての方程式が得られます。

お礼

わかりました！何回もありがとうございます。助かりました！

回答No.3

rnakamra

#2の補足について
V1,V2,Tと未定数を3つにして3元の連立方程式にする、の方針で式を立てたのですね。
それで問題ありません。

ただ、(3)の式が間違っています。
W＝-p∫dV
＝-nRTln(V2/V1)・・・(3)

気体が行った仕事がWですから
W=∫pdV
符号は正です。pは∫とdVの間に入ります。

最後の結果も符号が逆になります。(等温膨張なのでP1>P2,V1,Tが負になってしまいます)

熱量とエントロピーは熱力学第1法則の式とエントロピー変化の定義の式に入れればよいでしょう。

お礼

なるほど！ご指摘ありがとうございます。
最後にno.1で仰っていた連立方程式を立てない方の解法がいまいちまだよく理解できていないのですが・・・

回答No.2

rnakamra

> 1）ではTが与えられていませんが、どうすればいいのでしょうか？

回答を読んだ上で考えて再度質問してください。
#1で答えたように膨張前の体積をVとするとTはVで表すことができます。
(物質量,圧力,体積が分かれば理想気体の状態方程式からTは得られます)
後はW=∫pdVの関係からVを求めればよい。

最初はTはわからなくてもよいのです。
どうしても不安なら未定数をV,Tの二つにすればよい。
二つ式を出せば連立方程式を解くことで1),2)が同時に解ける。

お礼

書いてみます
P1,P2それぞれについての体積をV1,V2とすると,温度をTとすると
P1V1＝nRT・・・(1)
P2V2＝nRT・・・(2)
(n=m/M：見やすさのため)
した仕事だから
W＝-p∫dV
＝-nRTln(V2/V1)・・・(3)
(1)(2)からP1/P2＝V2/V1
これを(3)に代入してT＝-W/nR(lnP1-lnP2)
でどうでしょうか？
V1＝-W/P1(lnP1-lnP2)
なんか順番逆転しちゃいましたが

回答No.1

rnakamra

膨張前の体積をVとおくと膨張前の温度は理想気体の状態方程式からVを用いて表すことができます。

等温変化ですので気体の温度は変化しません。このことから膨張後の温度もVを用いて表せます。

膨張後の状態方程式から膨張後の体積もVを用いて表せます。

等温変化中の圧力と体積に関係もVを用いて表せるでしょう。(もちろん式にVが現れます)
後はW=∫pdV　の関係式からVをW,m,M,P1,P2を用いて表すことができるでしょう。
ここでのWは与えられた条件ですから未知数ではありません。

3)は理想気体の内部エネルギーは体積の関数であることを知っていれば計算するまでもありません。

お礼

回答ありがとうございます。
しかしまだわかりません・・・
1）ではTが与えられていませんが、どうすればいいのでしょうか？