誤差のない円の面積求め方は？

質問

円の面積を実際に、誤差なしに、計算する方法ってありますか？

ただし、実際の円の面積です。
また、方法さえ合っていれば、論理的？理論的？な方法でかまいません。
湿度や温度によって、円を形成する物質が伸び縮みとかはしないってことです。
また、実際の測定方法における誤差も考えなくていいです。

回答No.6

masa2211 · ベストアンサー

円の面積なら、直径×円周÷4　　で計算できますが、
良く考えると、直径÷円周＝π　　なので、
Ｓ＝πｒ＾2　がダメ（πは正確でない）というなら
直径と円周ののうち少なくとも片方は正確に計測できない
ということになります。当初の定義とずれますが、測定誤差が無い、などという変てこな仮定を設ける以上必然的にこうなるので仕方ない。

別法として、プラニメータ（アナログ式に限定）を使う、
というのでも、理論的には正確に計測できます。ただし、実際には、条件が良い場合でも0.1-0.2％の誤差があります。
プラニメータの原理ははこちら。
http://math-info.criced.tsukuba.ac.jp/Forall/project/history/2003/planimeter/doc/day2.pdf

お礼

プラニメータという器具があるのは知りませんでした。
そういえば、工事や測量で使ってるのを見たことがあるような。

wikiでは、面積を加算(積分)と書かれていたのですが、理論としては、私の紐で円の形を変えると同じ理論かな？
円の円周を、四角にして縦(チェック)横にすれば、精確な面積が求められる。
ありがとうございました。

回答No.9

alice_44

一番の問題は、質問文が題意不明瞭だったことでしょうか。
ともあれ、補足を見ると、A No.7 の解釈でよさそうです。

π が無理数だから無理と決めてかかるのは、思考停止ですが、
ユークリッド作図の範囲で円は長方形に等積変形できない
という結論は、それなりにオモシロイものだと私は感じます。
無理数でも、√2 や (1+√5)/2 なら、作図可能ですから、
それらと比較してみるのも、オモシロイ。

そういう話よりも、紐で縛ったり水に沈めたりのほうが
貴方にとってオモシロイのなら、質問する場所を間違えた
ということではないかと思いますが… どうなんでしょうね？

回答No.8

nobrain_nopain

1:密度既知、厚さ既知の板を用意する
2:求めたい円を板に書く
3：円を切り抜く
4:切り抜いた円板の質量を測る
5:4:で得られた値を密度で割る
6:5:で得られた値を板の厚さの値で割る

環境に対しパラメータ不変、測定誤差の発生なし（＝作り損なったか否かは測定で分かる）というこの素晴らしくもバカバカしい世界ならＯＫでしょ？

いくつの出来損ないの板や円板を作るのか、4：で得られた値が有理数かどうかはこちらの関知するところではない。

お礼

無限小数点だったとしても、分数で表しちゃえばいいんですしねー。
分数も立派な数値ですし。
でも、密度ってのは、面白いアイディアでした。
ありがとうございました。

回答No.7

alice_44

あるいは、
πr^2 が、今考えている単位において有限小数の値を持つとき、
それを誤差なく求める方法は何か？　…という問題でしょうか。
それだと、r や 2r や 2πr などの値を測定してはダメですね。
計算過程に無理数が出てきてしまいますからね。

途中の計算で有限小数のみを経由して、円の面積を得るには、
No.6 さんが言うように、何も経由せず面積を直接計測してしまう
方法が良いのかもしれません。
面積計の精度は、誤差ゼロと仮定しても構わないのか？とか、
ちょっと気分的にスッキリしない部分もありますが。それが
線分の長さを誤差ゼロで測れると仮定するのとどう違うんだ
…と言われれば、あまり反論もできないし。

測定するものは長さだけで、使う道具も定規とコンパスだけ
という幾何学の伝統に沿ったスタイルでは、円の面積が有限小数
の値であっても、それを有限小数の値を持つ線分の長さとして
とり出すことはできません。これは、「円積問題」といって、
既に証明されています。

お礼

＞実際の測定方法における誤差も考えなくていい
と書いたので、測定に関する誤差は、考えなくていいですよ。
そのへんにいちゃもんを付けられちゃうと、「円って書いてあるけど、完全な円などない！！」がまかりとっちゃうので。
ありがとうございました。

補足

知恵袋では、もう少し面白い答えが出たのですが・・・、さてさて問題はどこにあったのか？

例えば、その円の形に合わせた紐を用意、セットし、結ぶ。
その紐を引っ張って四角にする・・・ではダメですか？

測定方法による誤差は考えなくてもいいと書きましたし。

ようは、πが無限少数なので、なんかの方法で円を四角（もしくは計算しやすい形）にすればいいという発想なんですが。

確かにカテは数学ですが、数学で答えてくれとは書いていませんし。＾＾；
ちなみに知恵袋では、重さを図るとか、水を入れるとか、というアイディアでした。

πは、どう頑張っても、実測に誤差がある。
「じゃー、もう正確な円の面積なんて求める方法はない！」と思考が停止してしまったのか、数学脳なので数学以外では考えられなかったのか、カテゴリーに縛られたのか。
それとも、質問に不備があったのか？
やはり、カテゴリを意識した結果ですかね？

回答No.5

noname#220943

うーん、たぶん質問と各回答が微妙にすれ違っているのは、数学の前提に係わる部分のような気がします。

> πr^2以上に正確な（例え机上でも）、アイディアは出ないという訳では？
「πr^2」は円の面積の「定義」です。一番正確とかそういうことではなく、「まずこの式があって」、その次に「π」を小数で表したら幾つになるかという話が来ます。なので、スパコンで何兆桁まで計算したというのがニュースになります。

今回の思考の条件について、測定方法や分子レベルで誤差がないのですから、「実際」といいつつも完全に「数学の世界」の話をしています。回答者はここに若干惑わされています。
質問者が「実際の誤差」と言っているのは、数学の世界と現実世界の差「ではなく」、「π」を有限小数に近似した場合の誤差についてのことです。「π」を「πでないもの」（近似値）に置き換えるのですから、当然、選択した有効数字に応じた誤差は生じます。これはアイデア云々ではなく、三段論法による帰結といえば分かるでしょうか。

こういうところに思考を巡らすのは、数学の面白いところだと思います。「定義」だ「前提」だというのが結論であっても、そこで思考停止せずに悩むのが、醍醐味だと思います。

お礼

確かに、現実の世界で厳密に言えば、完全な丸はないのでしょう。
この質問をする時、いくつか想定していたのですが、「円は円じゃない！！」というのは、想定外で楽しかったです。ｗ
たまーに、こういうひねた質問をIDを変えながらやるので注意してくださいねー。
ありがとうございました。

補足

知恵袋では、もう少し面白い答えが出たのですが・・・、さてさて問題はどこにあったのか？

例えば、その円の形に合わせた紐を用意、セットし、結ぶ。
その紐を引っ張って四角にする・・・ではダメですか？

測定方法による誤差は考えなくてもいいと書きましたし。

ようは、πが無限少数なので、なんかの方法で円を四角（もしくは計算しやすい形）にすればいいという発想なんですが。

確かにカテは数学ですが、数学で答えてくれとは書いていませんし。＾＾；
ちなみに知恵袋では、重さを図るとか、水を入れるとか、というアイディアでした。

πは、どう頑張っても、実測に誤差がある。
「じゃー、もう正確な円の面積なんて求める方法はない！」と思考が停止してしまったのか、数学脳なので数学以外では考えられなかったのか、カテゴリーに縛られたのか。
それとも、質問に不備があったのか？
やはり、カテゴリを意識した結果ですかね？

回答No.4

alice_44

πr^2 が有限小数になるか？って話なら、
そうなるような実数 r も
そうならないような実数 r もあり、
特に r が有限小数の場合には
πr^2 は有限小数ではない
…てことじゃないかな。
有限小数でないものを、有限小数で近似すれば
誤差は避けられない。

お礼

確かにπを使うと、誤差は避けられませんね。
人間、ひとつの答えが見つかると、そこで思考がとまるもので。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#220943

回答No.1および補足・御礼について。

・円の面積は「πr^2」ですよね？？

・「0.999…」（無限小数、「0.(9)」とも書く）は、「1」と等しいですが、途中で切ってしまったら、「0.9」も「0.999」も「0.999999」も、もちろん「1」ではありません。

・同様に、「π」は無限小数ですが、それを有限の数（「3.14」でも「3.1415」でも）に置き換えたら、その時点で「π」の近似値であって、「π」と等しい数ではありません。そういう意味では、誤差が生じる以外の何物でもなく、悩む余地すら無いかと思います。

・回答No.2の通り、「π」を有効数字何桁の近似値で計算するかを考える（判断する）ことが重要であると思います。

お礼

まぁ、πは、数学上は合っているんでしょうが、実測ではどっかで情報を切り捨てる必要がありますね。
有効桁数を、１００にしても１０００にしても、理論的には誤差があるわけです。
ありがとうございました

回答No.2

noname#220943

実際の測定方法における誤差を考えなくて良いなら、
（１）円の半径を（誤差なく）測定し、rとする。
（２）πr^2

そもそも現実世界に、完全な「円」も「三角形」も存在しません。
（どんなに精密に描いても、分子レベルで凸凹しているとかいう話で。）
そう言ってしまえば、誤差のない円が数学の世界（想像上）にしか存在しない以上、現実世界の円の面積などは必ず誤差を考慮するものであって、どこまで正確に測定して、どこからの誤差を無視するか、といったことを考える方が実際的な論理的思考だと思います。

お礼

＞完全な「円」も「三角形」も存在しません。
ってのは、すごいですね。
テストでこれを書いた生徒がいたら、私は点はあげられませんが、三角くらいは付けたいと思います。
でも、それを言い出したら、たいていの問題がそうなるような。

ありがとうございました。

補足

つまり、みんさんの頭脳を持ってしても、πr^2以上に正確な（例え机上でも）、アイディアは出ないという訳では？

＞実際の測定方法における誤差は無視
と同様に、この円は、分子レベルでも完全な円です。

回答No.1

AVENGER

2πr^2じゃダメなんですか？

お礼

数学の式では、2πr^2があっているんでしょうね。
でも、2*3.14（に続く小数点）r^2は、正確な数値なのでしょうか？
ありがとうございました。

補足

πは、実際に数値に当てはめると、無限に少数が続くんですよね？
だったら、実際の数値に当てはめるのなら、誤差があるのでは？
1=0.99999999....の9が無限に続くのは１ですが、実際の計算では、どこかで切らなければいけないの、やはり１ではないのでは？

”実際”の円の面積

2πr^2は正しいかもしれませんが、πを実際の数値に当てはめると、誤差は生まれないのでしょうか？
円周率は３？3.14？それとももっと多くの小数点？