中学の数学の問題（方程式）

質問

中学の数学の問題（方程式）です。
うまく答えが出せません。よろしくご指導ください。
問題：　
合計５名でリーグ戦を行う。得点制とし、勝者は５点、敗者は０点、引き分けの場合は両者とも２点とする。リーグ戦終了後、合計得点で、順位を決める。５人の得点の合計が
４５点の時、1位の得点が17点であった。2位の得点として考えられる最大の点数と最小の点数を求めよ。答は最大14点、最小９点となっていますが、どのように導いてよいものやらさっぱり分かりません。よろしくお願いします。　組み合わせ試合総数が10通りあるくらいしか分かりません。

回答No.3

asuncion · ベストアンサー

方程式の問題とのことですので、その要素も入れてみましょうか。
5名のリーグ戦なので、試合数は全部で10である。
また、10試合のうち勝負がついた（引き分けでなかった）試合数をxとすると、
5人の得点合計が45であることから
5x + 4(10-x) = 45
となる。これを解いて、x = 5
私の最初の解答で、優勝者は3勝1分けだったことがわかっているので、
2位の人は2勝以下である。よって、私の最初の解答での
Aが3勝1分け、Bが3勝1分け、というケースは除外できる。

お礼

早速、お答えいただきまして、まことにありがとうございます。ｘ=５で優勝者は３勝１分けだから５-３＝２で２位は２勝以下という理屈が成り立ちますね。だから２位の３勝１分けや３勝１敗はあり得ないということがよく分かりました。とても分かり易い解説で感謝しています。

回答No.4

asuncion

＞私の最初の解答での
＞Aが3勝1分け、Bが3勝1分け、というケースは除外できる。

Aが3勝1分け、Bが3勝1敗、というケースも除外できますね。

回答No.2

asuncion

さらなるヒント
全員の得点合計が45点で、引き分けの得点が2点（引き分け1試合ごとに得点合計は4点加算）
ということは、全員の勝ちの分の合計得点は奇数である。
勝ちに対しては5点（奇数）与えられるので、全員の勝ち試合数の合計は奇数である。

回答No.1

asuncion

5名をA, B, C, D, Eとする。Aが1位、Bが2位であったとしても題意に反しない。
Aの得点が17ということは、3勝1分けである。
つまり、A対Bの対戦は、Aが勝ったか、あるいは引き分けであったことになる。

1)A対BでAが勝った場合
Bが残り3試合をすべて勝ったと仮定すると3勝1敗で得点15となる。

2)A対Bが引き分けだった場合
Bが残り3試合をすべて勝ったと仮定すると3勝1分けで得点17となる。
同率順位がないとすると、この結果はありえない。
よって、Bの成績は最高で2勝2分けの得点14となる。

という具合に結果をしぼっていって、総得点が45となるにはBの成績が
どうなるべきかを見つけていけばいいと思います。