夏休みの課題

質問

数学の課題です。
答えは載ってましたが、
やり方が分かりません。

(1)2点(-3,5),(1,-11)を通り、かつ、
頂点が直線y=-2x+3上にある
2次関数を求めよ。

答えy=-2x^2-8x-1

(2)関数y=(x^2-4x+2)^2-2x^2+8x+1+aの最大値が3であるとき、定数aの値を求めよ。ただし、0≦x≦3とする。

答えa=-10

1つでも分かったら教えて下さい。
よろしくお願いします!!

回答No.5

ferien

ANo.2です。　（１）について

５＝ａ（－３－ｐ）^2－２ｐ＋３　……（１）
－１１＝ａ（１－ｐ）^2－２ｐ＋３……（２）
（１）－（２）より、
１６＝（９ａ＋６ａｐ）－（ａ－２ａｐ）
１６＝８ａ＋８ａｐより、２＝ａ＋ａｐから、ａｐ＝２－ａ
ここで、ａ≠０だから、ｐ＝（２－ａ）／ａ　
１－ｐ＝｛ａ－（２－ａ）｝／ａ＝２（ａ－１）／ａ
これらを（２）へ代入して整理すると、
ａ（ａ＋２）＝０，　ａ≠０から、ａ＝－２

後はできると思います。確認してみて下さい。

回答No.4

MarcoRossiItaly

No.3です。No.3で、「A = ？（P=-1を除外しないと割れないので注意）」と書いてしまいましたが、手が滑りました。「0 ≠ 16 = A(8 + 8P)」より明らかに「8 + 8P ≠ 0」、つまり明らかに「P ≠ -1」なので、これで割ることに問題はありません。失礼しました。

回答No.3

MarcoRossiItaly

(1)
その方法で解けると思いますよ。2点を代入すると式が2本、文字数がaとPの2文字ですから、特殊な場合を除き、連立で解けます。2次関数のほうは、「y = A(x - P)^2 - 2P + 3 (A ≠ 0)」としたほうがいいですね。（x = P を代入してみれば正しいと確かめられますね？）

2点を代入

5 = A(-3 - P)^2 - 2P + 3
-11 = A(1 - P)^2 - 2P + 3

2本の式の2乗の部分を展開すると、どちらも「AP^2」という項が現れますね？「- 2P + 3」という部分も共通しているから、連立で消えそうです。そこまで自力でできる質問者さんでしたら、あとは解けそうじゃないですか？

多少の書き方の工夫をするなら、次のように中途半端に展開し、( )を残したまま辺々を引き算すると、いくぶんラクに書けるかもしれません。

5 = A(9 + 6P + P^2) - 2P + 3
-11 = A(1 -2P + P^2) - 2P + 3
↓
16 = A(8 + 8P)
↓
A = ？（P=-1を除外しないと割れないので注意）

これを上の2本の式のどちらかに代入。すると一見、Pについての2次方程式になりそうに思えますが…。計算してみてください。

(2)
その方法で解けると思いますよ。そこまでできていれば、半分くらいできています。

そのtの2次式は、下に凸のグラフですから、もしもtの範囲が決まっていなければ、頂点のy座標が最小値となり、最大値は存在しないはずです。しかし、xの範囲が決まっているためにtに最大最小があるので（※）、問題の4次関数にも最大値が存在します。

※xの範囲が決まっていなくても、tはxの2次関数であるため、最小値だけは必ず存在することになります。

問題は、tの最大値・最小値が実際にはいくつかということ。「x^2 - 4x + 2 = t」と置いたから、この左辺の2次式の最大最小のことです。2次関数の最大最小は、端点と頂点を考えればいい。端点とは、0 ≦ x ≦ 3だから、x = 0, 3 のことです。また、頂点を求めるには、どうすればいいですか？「平方完成」ですね。これら3点のうちのどれか2点が、最大値と最小値になるときの(x, t)となるはずです。実際にtを求めて、確かめてください。

こうして求めたtの最大値・最小値が、tの2次式における端点となるので、どちらのtでyが最大になるかを最後に確かめます。

易しいと言ったのは、あくまで、ここで回答されているような多くのハイレベルな方々にとっては、です。私程度は、彼らと比べるべくもありません。また、そのようなハイレベルになるのに、大した努力もしていないなどということはあり得ないということは、重要な点だと思います。大学レベルよりももっとできる方もいらっしゃいます。甘く見ないことです。

回答No.2

ferien

＞(1)頂点の座標(P,-2P+3)

＞求める2次関数をy=a(x-P)^2-2P+3とおいて
＞2点を代入するところまでやりました。
５＝ａ（－３－ｐ）^2－２ｐ＋３
－１１＝ａ（１－ｐ）^2－２ｐ＋３

上の連立方程式を解けばいいだけです。ａ≠０に注意すると、ａ＝ｐ＝－２

＞(2)関数y=(x^2-4x+2)^2-2x^2+8x+1+aの最大値が3であるとき、定数aの値を求めよ。
＞ただし、0≦x≦3とする。
０≦ｘ≦３　でしょうか？
＞(2)x^2-4x+2=tとおく。
＞y=(t-1)^2+4+a　……（１）

ｔ＝（ｘ^2－４ｘ＋４）－４＋２
＝（ｘ－２）^2－２
軸ｘ＝２で、０＜２＜３だから、ｔの最小値－２
ｘ＝０のとき、ｔ＝２，ｘ＝３のとき、ｔ＝－１より、ｔの最大値２
よって、ｔの範囲は、－２≦ｔ≦２　……（２）
（１）は、（２）の範囲で、ｔ＝１のとき、ｙの最小値４＋ａ
最大値はｔ＝－２のときか、ｔ＝２のとき、
ｔ＝－２のとき、ｙ＝１３＋ａ
ｔ＝２のとき、ｙ＝５＋ａ　だから、ｙの最大値は、１３＋ａ
１３＋ａ＝３より、ａ＝－１０

計算を確認してみて下さい・

回答No.1

MarcoRossiItaly

「1つでも分かったら」って…。ここで回答されている方々なら、寝ててもできるほど易しい問題ですよね…。この手の（質問と呼べるか分かりませんが）ご質問に、完全な解答の載っている回答がなかなか寄せられないのは、「言われたままに宿題の代行をするのは果たして適切だろうか？」と回答者が感じるからなのであって、別に答えが分からないからではありません。質問者さんは「やり方が分かりません」とのことですが、どこまで解き進めたのですか？途中までであっても、考えを書いてください。

お礼

易しい問題も分からないバカです。

正しいやり方か分かりませんが
自分で考えたところを書いときます。

(1)頂点の座標(P,-2P+3)

求める2次関数をy=a(x-P)^2+3とおいて
2点を代入するところまでやりました。

計算が分かりません。

(2)x^2-4x+2=tとおく。
y=(t-1)^2+4+a

ここまでしか分かりません。