力学的エネルギーについて

質問

下の問題の解答の力学的エネルギー保存則の部分、説明をお願いします。右側が少し見にくくて申し訳ございません。

なぜこのような力学的エネルギーの式がたつのか分かりません。

回答No.3

noname#175206

#2です。書き間違いました。

誤>(1/2)v0^2＋mg×0＝(1/2)m(v0/√2)^2＋mgYmax　―(3)　←(1)＝(2)
誤>(1/2)v0^2＝(1/2)m(v0/√2)^2＋mgYmax　―(3)'　←mg×0＝0なので省いて書きました
　左辺初項の質量mが抜けてしまっていました。

正>(1/2)mv0^2＋mg×0＝(1/2)m(v0/√2)^2＋mgYmax　―(3)　←(1)＝(2)
正>(1/2)mv0^2＝(1/2)m(v0/√2)^2＋mgYmax　―(3)'　←mg×0＝0なので省いて書きました

　大変、申し訳ありません。

回答No.2

noname#175206

質量mの物体が運動するとき、空気抵抗などのロスが無ければ、運動エネルギー(1/2)mv^2（v：速さ）と位置エネルギーmgh（h：高さ）の和が変化しないと言うのが「力学的エネルギー保存の法則」です。

　(1/2)mv^2＋mgh＝一定

　上向き45度の方向に初速v0で投げたというとき、そこを位置エネルギーの基準点とします。上の式で言えば、h＝0。問題では、式でもこれが分かるように書いてくれています。

　まず、投げ上げた直後の力学的エネルギー出ます。

　(1/2)v0^2＋mg×0＝一定　―(1)

　上がる程に遅くなります。問題では、わざわざ水平x方向については一定だよと注意書きまでしてくれています。垂直のy方向だけが遅くなって行きます。
　ついには最高到達点に達し、そのときの垂直のy方向の速度は0になり、水平のx方向の速度だけが残ります。
　45度で投げ上げたのだから、水平方向はv0cos45°＝v0/√2。これは地上に落下するまで変わりません。最高到達地点では、この速度だけの運動エネルギーです。

　hがYmax（これはまだ不明）だとすれば、その位置エネルギーと、x方向の運動エネルギーの和で、最高到達点での力学的エネルギーが出ます。

　(1/2)m(v0/√2)^2＋mgYmax＝一定　―(2)

　この(1)と(2)が等しいわけです。一定で変化しませんので。

　(1/2)v0^2＋mg×0＝(1/2)m(v0/√2)^2＋mgYmax　―(3)　←(1)＝(2)
　(1/2)v0^2＝(1/2)m(v0/√2)^2＋mgYmax　―(3)'　←mg×0＝0なので省いて書きました

　後は(3)'をYmaxについて解き、v0＝100[km/h]を[m/s]に換算して計算すれば、求めたい答が出ます。

　それが、模範解答が示している解法です。

P.S.

　垂直方向の初速が、v0sin45°＝v0/√2であることを使い、最高到達点で垂直方向の速度が0であることを使う方法もあります。垂直のy方向について、初速の運動エネルギーが、最高到達点では全て位置エネルギーに変わることを使います（以下、0の項は省略しています）。

　(1/2)m(v0/√2)^2＝mgYmax　∴Ymax＝v0^2/4g

回答No.1

toshih2000

下から2番目の式のことかな?

左辺は
発射時点の 運動エネルギー + 位置エネルギー
ですよね。

右辺は
最高到達点での 運動エネルギー + 位置エネルギー
ですね。

疑問と思う事をもう少し詳しく書いていただければ
もっと適切な回答ができるとおもいます。