力学的エネルギーについて

質問

(3)の力学的エネルギー保存の式がよくわかりません

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

(3)
・重力の位置エネルギーの基準はどこでもよいので、この図の原点の高さを基準にしてみます
・バネの弾性力エネルギーは自然長を基準とします。この場合自然長は x = +d の位置になります
・小球が板から離れる条件およびその位置を考えるときは、小球と板の間にはたらく抗力の条件がほしいので運動方程式から求めます。そのときの速さはエネルギー保存則から求めるのが早いでしょう

小球と板が一体となって動いている間の運動方程式を考える。（上向きを正とする。小球と板の加速度をa、小球と板との間にはたらく効力の大きさをNとする）
小球の運動方程式 ma = N - mg …①
板の運動方程式 2ma = -N - 2mg - k (x - d) …②
小球と板が離れる瞬間は N = 0 である。
N = 0 を①に代入して a = -g が得られる。
N = 0 , a = -g を②に代入すると、離れる瞬間の位置「x = d」 が得られる。
（これは、離れるのが自然長のときであることを表している）
小球とバネが一体となって上昇する間は、x = 0 を中心とする単振動をおこなう。よって、小球が板から離れるとすれば x = d より上まで到達するので、はじめに板を押し下げる長さ αd が d より大きいことが条件である。
よってαがみたす条件は「α > 1」 とわかる。

次に、準備としてkとdの関係式を求めておく。
つりあいの位置が、自然長よりdだけ縮んだ場所であることから
mg + 2mg = kd
すなわち
kd = 3mg …③
が成立する。

小球が板から離れるときの、小球および板の速さを v とする。
板を縮めて手を離した瞬間と、小球が板から離れる瞬間の力学的エネルギーの和（運動エネルギー、重力による位置エネルギー、バネの弾性力エネルギーの合計）が保存されるので

(1/2) (m+2m) 0^2 + (m+2m) g (-αd) + (1/2) k (d + αd)^2
= (1/2) (m+2m) v^2 + (m+2m) g d + (1/2) k 0^2

という等式が成立する。この等式を変形して

(1/2) (m+2m) v^2 = (m+2m) g (-d - αd) + (1/2) k (d + αd)^2

(1/2) 3m v^2 = -3mgd (1 + α) + (1/2) k d^2 (1 + α)^2

ここで、③より k = (3mg) / d であるので、これを代入して

(1/2) 3m v^2 = -3mgd (1 + α) + (3/2) mgd (1 + α)^2

両辺に 2 / (3m) を掛けて

v^2 = -2gd (1 + α) + gd (1 + α)^2

v^2 = gd (-1 + α^2)

よって離れるときの速さは 「 v = √{ gd (-1 + α^2) }」である。