確率の質問です！

質問

n個の箱があります。また、赤、青、黄の3色の玉が、それぞれ十分な数あります。
n個の箱全てに玉を入れて、赤、青、黄がそれぞれ、少なくとも1つずつは存在する確率を求めたいと思っています。
n=3の時は、1×(2/3)×(1/3)＝2/9だと思います。
しかし、式で表そうとすると、n≧4で途端に複雑になります。
n=4ぐらいなら、何とか樹形図で調べられます（たぶん4/9）が、3のn乗通りのパターンが存在するため、n≧5はとても大変です。
この問題をnを含む式で表すことはできないでしょうか？

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

難しい計算は要らないっすよ。
n個の箱について、どの箱にも赤・青・黄のどれかが1個入っているとき、

(1)「n個の箱のうちに黄が入っているものはひとつもない（入っているのは赤か青）」という場合の数は2^n通り。
(2)「n個の箱のうちに赤が入っているものはひとつもない（入っているのは青か黄）」という場合の数は2^n通り。
(3)「n個の箱のうちに青が入っているものはひとつもない（入っているのは黄か赤）」という場合の数は2^n通り。
そして、(1)(2)(3)以外の場合には、「n個の箱のうちに、赤・青・黄が少なくとも1個は入っているわけです。

さて、
(4) 「n個の箱に、それぞれ赤か青か黄が入っている」という場合の数は3^n通り。

だから、
「n個の箱のうちに、赤・青・黄が少なくとも1個は入っている」という場合の数は、(4) から(1),(2),(3)を差し引いたもの。つまり
(3^n) - 3(2^n) 通り。

　確率を考えるには、「何が同等に起こり易いか」ということがはっきりしていなくちゃいけません。たとえば
(a) どの箱についても、赤・青・黄が入る確率は1/3ずつである。しかも
(b) どの箱も他の箱とは無関係に色が決まる
と仮定すると、「n個の箱のうちに、赤・青・黄が少なくとも1個は入っている確率」P が計算できて、
P = ((3^n) - 3(2^n)) / (3^n)
つまり
P = 1 - (2^n) / (3^(n-1))

お礼

御礼が大変遅くなり、申し訳ありません。
大変簡単化して説明して下さり、イメージしやすかったです。
助かりました。
ありがとうございました！

回答No.5

stomachman

ANo.4。ちょんぼしました。訂正です。
(1) 赤ばっかり入っている場合の数は1通り
(2) 青ばっかり入っている場合の数は1通り
(3) 黄ばっかり入っている場合の数は1通り

赤か青だけが入っている場合の数は2^n通り。
なので、
(4) 赤と青のどっちかだけが入っていて、しかも赤と青がそれぞれ少なくとも1個は入っている場合の数は 、（2^n通りから、(1)赤ばっかりの場合と(2)青ばっかりの場合を除くので、）(2^n)-2 通り。

同様に
(5) 青と黄のどっちかだけが入っていて、しかも青と黄がそれぞれ少なくとも1個は入っている場合の数は(2^n)-2 通り。
(6) 黄と赤のどっちかだけが入っていて、しかも黄と赤がそれぞれ少なくとも1個は入っている場合の数は(2^n)-2 通り。

赤と青と黄のどれかが入ってる場合の数は3^n通り。
なので、
赤と青と黄であって赤と青と黄がそれぞれ少なくとも1個は入っている場合の数は、（3^n通りから、(1)～(6)を除くので、）(3^n)-3((2^n)-2)-3 = (3^n)-3(2^n)+3 通り。

でした。どうも計算間違いの常習犯でして…たはは、ごめんね。

お礼

締切終了後にも関わらず、ご親切にありがとうございます。
私が、もっとしっかりと確認してから質問を締め切るべきでした。すいません。
本当にありがとうございました。

回答No.3

ask-it-aurora

quaestioさんの回答を見て閉じた表示が得られることがわかったので，もうちょっとだけ計算を工夫してみました．やっていることはquaestioさんのと同じです．

多項展開式
f(x, y, z) = (x + y + z)^n = Σ(n!/(p!*q!*r!))x^p*y^q*z^r
を使います．右の和はp + q + r = n を満たす負でない整数p, q, rたちについてとっています．ここで
f(1/3, 1/3, 1/3)
の値を計算すれば先に書いた式とほとんど同じ物がでてくるのがミソです．p, q, r のいずれかが0となっている部分を多く勘定しているのでそれを移行すればOKです．(以下では多く勘定した分がいくらかをいわゆる「包含排除の原理」の要領で数えています) たとえばp = 0のときは
Σ(n!/(q!*r!))*y^q*z^r = (y + z)^n
より1/3を代入すれば(2/3)^nを得ます．同様にq = 0, r = 0のときも(2/3)^nです．しかしこの場合分けは重複している部分があるのでその分を補正します．たとえばp = 0かつq = 0となるのは
z^n
より1/3を代入すれば(1/3)^nを得ます．同様にq = 0かつr = 0のとき，r = 0かつp = 0のときも(1/3)^nです．単純な場合分けの問題としてはさらにp = 0かつq = 0かつr = 0の場合の補正もさらにしなければなりませんが，このようなことは起こりません(n = p + q + r)．以上より
p(n) = 1 - 3*(2/3)^n + 3*(1/3)^n - 0
= 1 - (2^n - 1)/3^(n - 1)
です．

お礼

昨日に引き続きアドバイスを下さり、ありがとうございます。
改めて御礼申し上げます。
高校時代の参考書を引っ張り出してきて、上記の内容を復習してみようと思います。

回答No.2

noname#227064

「n個の箱の中にはそれぞれ一個だけ玉が入っていて、その色は等確率で赤、青、黄のどれかである」ということですね。
一つの箱に何個入れられるのだろうと考えてしまいました。

赤、青、黄の玉の数をそれぞれr,b,yとします。
n = r + b + y
です。
この時の確率は
(n!/(r!b!y!))/3^n
で求められます。
いま求めたい確率は、r > 0, b > 0, y > 0となる確率ですので、
Σ_{r=1}^{n-2}Σ_{b=1}^{n-r-1} (n!/(r!b!y!))/3^n
= Σ_{r=1}^{n-2}(n!/(r!(n-r)!))(2^(n-r)/3^n) Σ_{b=1}^{n-r-1} ((n-r)!/(b!(n-r-b)!))/2^(n-r)
= Σ_{r=1}^{n-2}(n!/(r!(n-r)!))(2^(n-r)/3^n)(1-1/2^(n-r)-1/2^(n-r))
= Σ_{r=1}^{n-2}(n!/(r!(n-r)!))(2^(n-r)/3^n) - Σ_{r=1}^{n-2}(n!/(r!(n-r)!))(2/3^n)
= Σ_{r=1}^{n-2}(n!/(r!(n-r)!)) (1/3)^r (2/3)^(n-r) - 2(2/3)^n Σ_{r=1}^{n-2}(n!/(r!(n-r)!))/2^n
= (1-(2/3)^n-n(1/3)^(n-1)(2/3)) - 2(2/3)^2 (1-1/2^n-n/2^n-1/2^n)
= 1-(2^n-1)/3^(n-1)
となると思います。
（計算間違いをしていなければ）

検算
n = 3のとき
1-(2^3-1)/3^(3-1) = 1-(8-1)/3^2 = 1-7/9 = 2/9
n = 4のとき
1-(2^4-1)/3^(4-1) = 1-(16-1)/3^3 = 1-15/27 = 12/27 = 4/9

大丈夫かな？

お礼

問題の詳細(1つの箱に玉1つ）を書き忘れており、申し訳ありませんでした。
スゴイ。こんな複雑な確率もnを含んだ式にできるのですね。
助かりました。ありがとうございました！

回答No.1

ask-it-aurora

十分な数があるというのは，それぞれの色を引く確率が1/3ということですね？

結果から言うと確率はp(n) = N(n)*(1/3)^nとなって，このとき
N(n) = Σ(n!/(p!q!r!))
です．和は自然数p, q, r ≧ 1で p + q + r = nを満たすものについて取ります．

まぁこんな感じになるんですが雰囲気をつかむためにn = 5くらいを樹形図なんか使わずに直接求めてみましょう．色を無視するとn = 5のときの配色パターンは(i)xxxyz, (ii)xxyyzの2パターンです．

(i)の場合．まずxに相当する色の選び方が3通り．そして5個の玉の並べ方は5!/3!通り．したがって全部で3*(5!/3!) = 60通りです．

(ii)の場合．zに相当する色の選び方が3通り．そして5個の玉の並べ方は5!/(2!*2!)通り．したがって全部で3*(5!/(2!*2!)) = 90通りです．

以上から確率はp(5) = (60 + 90)/3^5 = 50/81です．
一方，最初の式を使うと(p, q, r) = (3, 1, 1), (1, 3, 1), (1, 1, 3), (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)が条件を満たすので
p(5) = (1/3! + 1/3! + 1/3! + 1/(2!*2!) + 1/(2!*2!) + 1/(2!*2!))*5!*(1/3)^5 = 50/81
となります．確かに一致しましたね！n = 4でも同じように考えれば樹形図なんか使わなくともほとんど一瞬で4/9とわかります．

最初の式もn = 5の場合と同じように考えたら出てきます．蛇足ですが色の種類もk種類に一般化できますね(p, q, rの代わりにp1, …, pkを使えば良い)．和の形で閉じた式ではないのでちょっとしっくりこないかもしれませんが，僕にわかるのはこれくらいです．

お礼

早速の御回答ありがとうございます！
なるほど！私は確率が苦手だったため、樹形図になってしましたが、やはりnを用いて式を立てられるのですね。
詳しく説明してくださり、ありがとうございました。