高校数学の質問

質問

私は今年高校三年生になる受験生なのですが、演習問題がむずかしくなってきてわからない問題が結構あります。どれかひとつでも良いので教えていただけるとありがたいです。

(1)a,ｂは実数とする。xの二次方程式x^2+ax+b=0の2つの解の実部がともに負となるための必要十分条件はa>0,b>0であることを示せ。

(2)関数f(x)=│x^2-2x│について考える。
（1）ｆ(x)=f(x+1)を満たすxの値を求めよ
（2）区間ｔ≦ｘ≦t+1におけるf(x)の最大値を求めよ。ただしt≧0とする。

(3)四面体OABCがあり、
　OA＝3、OB=4、OC＝2
　OA⊥OB、OB⊥OC、OC⊥OA
をすべて満たしている。この四面体内にあって底面のひとつが面OAB上にある直円柱の体積の最大値を求めよ。

以上3問でする。歯ごたえある問題ですがどうぞヨロシクです(。_。)ペコッ

回答No.1

mister_moonlight

一度に3つ質問するな。書き込みが　面倒。
方針を書いとくから　計算は自分でやって。

(1)
2つの場合がある。
・2つ共に実数解の時、判別式≧0、2解の和＜0、2解の積＞0
・2つが虚数解の時　2解は　α＋β*i、α-β*i(＝共役な2解)だから　判別式＜0、2解の和＝2α＜0、2解の積＝α＾2＋β＾2＞0
これを計算すれば　答になる。

(2)
ｆ(x)=f(x+1)　→　｜x^2-2x｜＝｜x^2-1｜　→　x^2-2x＝±(x^2-1)を解く。
f(x)の最大値二ついては、先ず、グラフを書く。
そうすると　次の3つの場合がある。
・2≦t≦x≦t+1　の時最大値は　x＝t+1　の時
・0≦t≦x≦t+1≦2　の時最大値は　x＝1　の時
・0≦t≦2の時　この場合が(1)で求めたものに関係してくる。ｆ(x)=f(x+1)を満たすxの値を分岐にして最大値は変わる。

(3)
何かを変数に取る。
直円柱は内接するから、相似を使うと　ある関係が出てくる。
それを使って、直円柱の体積をその変数で求める。その変数の変域は定まるから、それを微分を使って求める。

微分しなくても、三角関数でよいかもしれない。いずれにしても、ここから先は自分でやれ。