数Bの質問です

質問

数学の問題です。４問あります。よろしくお願いします
１辺の長さが１の正四面体OABCにおいて、OA↑＝a↑、OB↑＝b↑、OC↑＝c↑とした時
(1)三角形OABの面積、
(2)三角形の重心をGとしたときOG↑をa↑とb↑で表す
(3)OG↑＝g↑とするとき、（c↑-g↑）・a↑＝０と、（c↑-g↑）・b↑＝０を示す
(4)GC↑の大きさhを求める

よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.2

alice_44

基本的な例題です。サクサク計算しましょう。

(1)
△OAB = (1/2) |↑OA| |↑OB| sin∠AOB より、
△OAB = (1/2) 1 1 sin60° = (√3)/4.

(2)
「三角形OABの重心をG」かな？
↑OG = (1/3){ ↑OO + ↑OA + ↑OB } より、
↑OG = (↑a + ↑b)/3.

(3)
上の結果を使って、
(↑c - ↑g)・↑a = { ↑c - (↑a + ↑b)/3 }・↑a
= ↑c・↑a - (↑a・↑a)/3 - (↑b・↑a)/3
= (1 1 cos60°) - (1 1 cos0°)/3 - (1 1 cos60°)/3
= 1/2 - 1/3 - 1/6
= 0.

(↑c - ↑g)・↑b も、まったく同様。

(4)
|↑GC|^2 = |↑GC| |↑GC| cos0° = ↑GC・↑GC より、
h^2 = |↑GC|^2 = (↑c - ↑g)・(↑c - ↑g)
= { ↑c - (1/3)↑a - (1/3)↑b }・{ ↑c - (1/3)↑a - (1/3)↑b }
= ↑c・↑c + (1/9)↑a・↑a + (1/9)↑b・↑b - 2(1/3)↑c・↑a - 2(1/3)↑c・↑b + 2(1/9)↑a・↑b
= { 1 + (1/9) + (1/9) }(1 1 cos0°) + 2{ - 1/3 - 1/3 + 1/9 }(1 1 cos60°)
= 11/9 + 2(-5/9)(1/2)
= 2/3.
よって、h = √(2/3) = (√6)/3.

どこで詰まったですかね？

回答No.1

DONKO38

(1)ピタゴラスで普通に解けます
(2)三角形の重心の定義を考えれば解けます。
　OA↑,OB↑の何倍の合成がOG↑になるか考えてみましょう。
(3)CからOG↑と逆方向に延びた点をG’とした場合、
　OG’↑とa↑、b↑は直角になりますね。
(4）重心の定義から導かれる定理と、ピタゴラスで解けます。