２次元座標上における物体の質量の求め方について

質問

２次元で円状の物体の運動方程式を解く際に、ひとつ気になったことがあるので質問させてください。

物体の密度はρ、半径はRとすると、物体の質量Mはどうなるのでしょうか？

３次元ならば、密度×体積で質量が得られるとおもうのですが、二次元の場合はどのように考えればよいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.7

hitokotonusi

>既知である密度の単位は[kg/m^3]です。

密度が単位体積あたりで与えられているなら、円板の厚さがなければ質量はでません。
解けないような問題のはずがないので、もう少し問題の全体がわかる様に書いてください。

厚さを無視するというような場合であれば、単位面積あたりという密度で与えられます。

回答No.6

sa10no

射影というのは質点の運動でよくやるように単に３次元のベクトルをある平面に平行な成分だけ抜き出すということです。
ただ、もう少し状況がはっきりしないと誤解の可能性がありますのでどのような力を考えたいのかを説明して下さい。
シミュレーションしたいというのであれば何か実際の力学系を剛体球でモデル化しているはずですが、どういう系を考えているのか、その際のモデル化の方法(摩擦や電磁気、重力の有無など)が明確にならない限り的確には答えられないと思います。

回答No.5

sanori

こんにちは。

ρは体積密度（ｋｇ／ｍ^3）ではなく、面密度（ｋｇ／ｍ^2）ではないでしょうか。

円盤の質量は
Ｍ　＝　ρπｒ^2
だと思います。

よくある話です。

ちなみに、一次元で線密度ならば、ｋｇ／ｍ

補足

既知である密度は体積密度のものだけである場合はシミュレーションできないのでしょうか・・・

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

noname#175206

2次元に帰着されるとして、よく知られているのは慣性モーメントでしょう。

　2次元になってしまうものに、厚みのある円盤があります。もちろん、体積は厚み半×径が2乗に比例となります。

　そうして質量を決定して、慣性モーメントを求めると、厚さは一切関係ない結果となります。でも、そこまで計算できたら厚みは気にしなくていい、面積と半径だけ気にしていればいい。

　もちろん、厚み0では面積だけとなり、それでは質量から求めた密度は無限大となります。厚みで割らざるを得ませんからね。

　ただ、面密度をkg/m^2などで定義することはできます。非常に無理矢理な感じはしますが、1m^2あたり、つまり単位面積あたりの質量を定義できます。それで慣性モーメントは定義できます。

　よく考えれば、物理の力学の入門では、もっと凄いことをやっています。質点です。大きさ0で質量があります。そんなものがあったら、ブラックホール中心の特異点です。古典物理学的には、（シュワルツシルト）ブラックホールの中心って、そういうものです。

　でも、「そうならないニュートン力学的なもので重力考えない」として扱っています。

　要は、考えやすいようにモデル化していいということです。

補足

質点については、確かにすごいモデル化をしているなーと思います。
もう少しで理解できそうな気もしますが、まだ自分のなかで消化しきれていないところがありますので、よく考えてみます。

回答して頂き、ありがとうございました。

回答No.3

sa10no

状況から読み取ると３次元剛体球の運動を考えたいということだと思うのですが、２次元に落として考えるなら単純に射影を考えるだけだと思いますが。
あくまで２次元の円盤を考えたいというのでしたら、まず厚さを便宜上考えてみて運動方程式を立ててみると結局両辺を厚さを割ることができるので寄与してこないと思います。

補足

理解が及ばず申し訳ないのですが、
単純に射影を考えるだけでよいということは、具体的にはどういうことでしょうか？
面積×密度（kg/m^3）＝質量と考えてもよいのでしょうか？
考えたい状況といたしましては、sa10no様のおっしゃる通り３次元剛体球の運動です。

回答No.2

sa10no

つまり３次元空間での運動を２次元に射影して考えるということですか？
そうたとすると当然質量は密度×体積です。

補足

私自身、どのように解釈するのが正しいのか曖昧なところがありますので、
もう少し私のしたいことについて詳しく書かせて頂きます。

２次元の粒子（球）の挙動についてシミュレーションしたいと考えています。
ですので、本来は３次元でシミュレーションを進めていきたいところなのですが、シミュレーション経験があまりありませんので、まずは２次元から始めていきたいと考えています。
そのため、解析対象は球（３次元）ではなく、円粒子（２次元）と捉えて粒子の運動方程式を逐次解くことで、粒子の挙動をまずはシミュレーションしようとしています。

ですが、運動方程式をたてる段階で今回の疑問にぶつかってしまいました。
もちろん、実現象は３次元ですので、わかっている物性値は３次元のものであり、密度も体積当たりの質量となっています。

回答No.1

sa10no

普通に解釈するなら密度は質量面密度なので密度×面積が質量です。

補足

説明不足で申し訳ありません。
既知である密度の単位は[kg/m^3]です。