中心からの距離に密度が比例する球体

質問

半径a、質量Mの中心対称的な密度分布をもつ球体物体がある。その密度は中心からの距離に比例している。球体物体の密度をρ(r)=ρor,(0≦r≦a)と置き、ρoをaとMを使って表せ。

という問いなのですが、よくわかりません。
与えられているρ(r)が、面密度なのであれば、M=∫[a,0] 4πr^2 × ρ(r) dr だとは思うのですが。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

私はこういう問題が得意ということではないので、いつも行き当たりばったりで解いています。
さて、ちゃんと答えが出るでしょうか。

＞＞＞与えられているρ(r)が、面密度なのであれば、M=∫[a,0] 4πr^2 × ρ(r) dr だとは思うのですが。

はい。そういう考え方でいいんです。
そして、面密度をさらに厚さで割れば密度になります。
ただし、区間は［０，ａ］です。

面密度　ρs　厚さ　Δｒ　の中空球の密度は、ρs／Δｒ　です。
ρs　がｒに比例するので、
ρs（ｒ）[kg/m^2]　＝　定数[kg/m^3]×ｒ[m]
と置けます。
つまり、
Ｍ　＝　∫[r=0⇒a]４πｒ^2・ρs・ｄｒ
　＝　∫[r=0⇒a]４πｒ^2・定数・ｒ・ｄｒ
　＝　４π・定数・∫[r=0⇒a]ｒ^3・ｄｒ
　＝　π・定数・ａ^4

よって、
定数　＝　Ｍ／（πａ^4）

中空球の質量　＝　∫[r=r⇒r+Δr]４πｒ^2・ρs・ｄｒ
　＝　∫[r=r⇒r+Δr]４πｒ^2・定数・ｒ・ｄｒ
　＝　∫[r=r⇒r+Δr]４πｒ^2・Ｍ／（πａ^4）・ｒ・ｄｒ
　＝　４Ｍ／（ａ^4）∫[r=r⇒r+Δr]ｒ^3・ｄｒ
　＝　Ｍ／（ａ^4）・｛（ｒ＋Δｒ）^4　－　ｒ^4｝

ρ（ｒ）　＝　中空球の密度
　＝　中級球の質量　÷　（４πｒ^2）　÷　Δｄ
　＝　Ｍ／（ａ^4）・｛（ｒ＋Δｒ）^4　－　ｒ^4｝／（４πｒ^2・Δｒ）
　＝　Ｍ／（ａ^4）・（ｒ^4＋４ｒ^3Δｒ＋６ｒ^2Δｒ^2＋４ｒΔｒ^3＋Δｒ^4－ｒ^4）／（４πｒ^2・Δｒ）
　＝　Ｍ／（ａ^4）・（４ｒ^3Δｒ＋６ｒ^2Δｒ^2＋４ｒΔｒ^3＋Δｒ^4）／（４πｒ^2・Δｒ）
　＝　Ｍ／（４πａ^4）・（４ｒ＋６Δｒ＋４Δｒ^2／ｒ＋Δｒ^3／ｒ^2）

Δｒ　が　ｒ　に比べて小さいときは、かっこ内の第２～４項は無視できて、
ρ（ｒ）　＝　Ｍ／（４πａ^4）・４ｒ
　＝　Ｍｒ／（πａ^4）

というわけで、私が勝手に作った記号は全部きれいに消えて、与えられた定数Ｍ、ａが用いられ、ρがｒに比例する式になって、次元もちゃんと合いました。

回答No.3

SKJAXN

すいません。ρoは比例定数、すなわちρ(r)=ρo*rのことでしょうか？　それを前提で解きます。

まずこれは中身が詰まった球体ですので、体積密度です。仮に半径aの球殻があり、その面上の密度が与えられていれば面密度です。式は貴殿の式で正しいと存じます。よって、
M={0→a}∫(4πr^2*ρo*r)dr=4π*ρo*{0→a}∫(r^3)dr=4π*ρo*{0→a}[(1/4)*r^4]=π*ρo*a^4

ゆえに、ρo=M/(π*a^4)

いかがでしょう？

回答No.1

okormazd

「ρ(r)が、面密度なのであれば、M=∫[a,0] 4πr^2 × ρ(r) dr 」

この式は、体積に密度を掛ける式なので、ρ(r)は面密度ではありません。drは球殻の厚さで、4πr^2 × dr は、球殻の体積になりますね。それに密度ρ(r)をかけているから、球殻の質量になります。

これで計算していけば、答えが出るでしょう。(ρ0=M/πa^4とかになるかな。あてにならないので自分で計算してください。)
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