角度計算

質問

図中各線の長さが、わかっているときの、角度θの求め方、を教えてください。
黒線＝a
緑線＝ｂ
青線＝ｃ
黄線＝ｄ
aとcは直角
θは0から15度ほど

a≒bのときは
θ＝Asin(ｃ／ｂ）で近似できると思うのですが、、

回答No.9

178-tall

スプレッドシートに取散らかしたデータから書き込んだため、支離滅裂になりました。シートを清掃し、整理してみます。

はみ出し三角形における余弦式
　d^2 = B^2 + C^2 - 2BC*sinθ　　　　…(1)
　　　B = b - (a/cosθ)
　　　C = c - a*tanθ

二次近似 (x = sinθ)
　　　B = b - a*(1 + x^2/2)
　　　C = c - a*x
を (1) へ代入した二次方程式、
　(ab)*x^2 - 2bc*x + {c^2 + (a-b)^2 - d^2} = 0
の小さい方の解。
　　x = (c/a){1 - SQRT(1 - E)}　　　　…(2)
　　　　　E = 1 - {a/(bc~2)}*{(a-b}^2 + c^2 - d^2}
θ= arcsin(x) のエラーは、0.15 rad にて約 0.1 % 。

高次の近似は煩雑過ぎ、あえなく断念。
(1) に逐次解法 (一次 Newton) を適用したほうが確実。
シート精度内にて、ピタリ収束します。

回答No.8

178-tall

二次近似項モデルの改訂版を…。
s = sinθ として近似精度アップしてみた結果です。

はみ出し三角形にて余弦定理を使った s の 二次方程式
　　6a(b - a)s^2 - 2bcs + {c^2 + (a-b)^2 - d^2} = 0
前稿との違いは、s^2 の係数だけ。

θ= arcsin(s) のエラーは、0.15 rad 以下なら 0.1 % 以内。

回答No.7

178-tall

>ガッチリした逐次解法の開発が要りそう。

「近似式」じゃありませんが、d^2 の余弦算式を使い Newton 方式でピタリと解けます。

回答No.6

178-tall

>b（1ー0.01）＜＝a＜＝b（1＋0.01）の時 0.1％以下の誤差に収まる、近似式はあるでしょうか？

「a が b の 99% 以上、かつ b を超えない」ですね。
θが零の近くに引き戻されたので、状況の再検分。

たとえば、
　a = 10.00
　b = 10.20
　c = 2.80
として、
　θ≒arcsin(c-d)/a
という粗っぽい近似を使っても、θの誤差は約 0.8 % 。
　　(ab)θ^2 - 2bcθ + {c^2 + (a-b)^2 - d^2} = 0
からの一次近似解だと、θの誤差は 0.5 % 弱。

一次近似じゃ無理。
ガッチリした逐次解法の開発が要りそう。

回答No.5

178-tall

どうせ二次方程式を解くのなら、二次近似項までを「根こそぎ拾う」モデル。

　二次近似　1/cosθ≒1 + (θ^2/2), sinθ≒θ, tanθ≒θ
　辺長が b-a{1+(θ^2/2)}, c-aθ, d のはみ出し三角形
にて余弦定理を使ったθの 二次方程式
　　(ab)θ^2 - 2bcθ + {c^2 + (a-b)^2 - d^2} = 0

θ= 15 deg あたりまでエラーが 5% だった例にて、θ= 20 deg あたりまでのエラーが 3% 以内になりました。

以上。

回答No.4

178-tall

θ= 15 deg あたりまで「現消費税率程度のエラー」におさまりそうなモデル例。

一次近似　cosθ≒1, sinθ≒θ, tanθ≒θ
辺長が b-a, c-aθ, d のはみ出し三角形
にて余弦定理を使ったθの 二次方程式
　　a(2b-a)θ^2 - 2bcθ + {c^2 + (a-b)^2 - d^2} = 0

解θ(rad) ふたつのうち、近似域のものを選ぶこと。

お礼

再度、ご回答いただきありがとうございます。
b（1ー0.01）＜＝a＜＝b（1＋0.01）の時
0.1％以下の誤差に収まる、近似式はあるでしょうか？

回答No.3

178-tall

>　θ≒{c^2 + (b-a)^2 - d^2}/(2bc)

前稿の一次近似は「事業仕分け」なみの大失敗でした。
敗因は、θ^2 の項をすべて無視したことにある。

そこで、(aθ)^2 の項だけ拾ってみます。
θの 二次方程式になりました。
　(aθ)^2 - 2bcθ + {c^2 + (a-b)^2 - d^2} = 0

当然ながら、解が二つ。
一方は、近似域から大きく外れた「無縁根」らしい。

一例で検算してみると、θ= 10 deg = 0.175 rad あたりが「現消費税率程度のエラー」の限界。
再考を要するようで…。

回答No.2

178-tall

>θは0から15度ほど .......

なら、現消費税率程度のエラーを目指して…(cosθ≒1, sinθ≒θ なる一次近似) 。

青線 (c) からはみ出した三角形に「近似的余弦定理」を適用してみると、
　θ≒{c^2 + (b-a)^2 - d^2}/(2bc)
ですが、さて？

お礼

ご回答いただき、ありがとうございます。
近似的余弦定理が理解できませんでした。
Arccosθ≒
ということでしょうか？

回答No.1

k_yuu01

図のように補助線を引いてみてはどうでしょ

三平方の定理より
e^2=a^2+c^2

角αに注目。余弦定理より
cos α = (c^2+e^2-a^2)/2ce
あとはarccosでαが求まりますね。

角βに注目。余弦定理より
cos β = (b^2+e^2-d^2)/2be
あとはarccosでβが求まりますね。

角θは辺aceから成る三角形の角度の一部ですので
θ＝１８０°ー９０°ーαーβ

これでいいですかねぇ

お礼

ご回答ありがとうございます。
余弦定理は忘れていました。
これで何とかなりそうです。