数学 確率

質問

６人から１人えらんで硬貨をなげ１人だけ表もしくは裏なら決まり
（１）何回投げれば９０％以上の確率で決まるか？
（２）平均何回で決まるか？

男７人　女３人から３人選ぶとき女は平均何人選ばれるか？

回答No.5

yyssaa

（２）以降を含めて再回答します。

6人が1回ずつ投げるのを1回として、1回で決まる確率
=6C1(1/2)*2*(1/2)^5=3/16
1回では決まらない確率=1-3/16=13/16

（１）何回投げれば９０％以上の確率で決まるか？
n回目に決まる確率P(n)=(n-1)回目まで決まらない確率×1回で
決まる確率={(13/16)^(n-1)}(3/16)
1回目～n回目で決まらない確率=∑[i=(n+1)→∞]P(i)
=(3/16)∑[i=(n+1)→∞](13/16)^(i-1)
=(3/16){(13/16)^n+(13/16)^(n+1)+(13/16)^(n+2)・・・｝
=(3/16)(13/16)^n{1+(13/16)+(13/16)^2+・・・・・・}
=(3/16)(13/16)^n{1/(1-13/16)}=(13/16)^n
この値が10%より小さければよいので(13/16)^n＜0.1
よりn=12。
よって、９０％以上の確率で決まるのは１２回・・・答え

（２）平均何回で決まるか？
lim[n→∞]∑[i=1→n]i*P(i)
=(3/16)lim[n→∞]∑[i=1→n]i*{(13/16)^(i-1)}
=(3/16)lim[n→∞]{1+2(13/16)+3(13/16)^2+・・・+n(13/16)^(n-1)}
=(3/16){1/(3/16)^2}=16/3≒5.3
よって、平均１６/３回すなわち約５．３回で決まる・・・答え

男７人　女３人から３人選ぶとき女は平均何人選ばれるか？
女３人が選ばれる確率=(3/10)(2/9)(1/8)=6/720
女２人が選ばれる確率=3C2(3/10)(2/9)(7/8)=126/720
女１人が選ばれる確率=3C1(3/10)(7/9)(6/8)=378/720
女が１人も選ばれない確率=(7/10)(6/9)(5/8)=210/720
女の平均人数=(3*6+2*126+1*378)/720=648/720=9/10
=0.9(人)・・・答え

回答No.4

yyssaa

おっと失礼。一桁間違えて９９％以上で回答してしまいました。
ANo.3の回答を以下の通り訂正します。
取り敢えず（１）について回答します。
（１）何回投げれば９０％以上の確率で決まるか？
＞
6人が1回ずつ投げるのを1回として、1回で決まる確率
=6C1(1/2)*2*(1/2)^5=3/16
1回では決まらない確率=1-3/16=13/16
n回目に決まる確率P(n)=(n-1)回目まで決まらない確率×
1回で決まる確率={(13/16)^(n-1)}(3/16)
1回目～n回目で決まらない確率=∑[i=(n+1)→∞]P(i)
=(3/16)∑[i=(n+1)→∞](13/16)^(i-1)
=(3/16){(13/16)^n+(13/16)^(n+1)+(13/16)^(n+2)・・・｝
=(3/16)(13/16)^n{1+(13/16)+(13/16)^2+・・・・・・}
=(3/16)(13/16)^n{1/(1-13/16)}=(13/16)^n
この値が10%より小さければよいので(13/16)^n＜0.1
よりn=12。
よって、９０％以上の確率で決まるのは１２回・・・答え

お礼

ありがとうございました

回答No.3

yyssaa

取り敢えず（１）について回答します。
（１）何回投げれば９０％以上の確率で決まるか？
＞
6人が1回ずつ投げるのを1回として、1回で決まる確率
=6C1(1/2)*2*(1/2)^5=3/16
1回では決まらない確率=1-3/16=13/16
n回目に決まる確率P(n)=(n-1)回目まで決まらない確率×
1回で決まる確率={(13/16)^(n-1)}(3/16)
1回目～n回目で決まらない確率=∑[i=(n+1)→∞]P(i)
=(3/16)∑[i=(n+1)→∞](13/16)^(i-1)
=(3/16){(13/16)^n+(13/16)^(n+1)+(13/16)^(n+2)・・・｝
=(3/16)(13/16)^n{1+(13/16)+(13/16)^2+・・・・・・}
=(3/16)(13/16)^n{1/(1-13/16)}=(13/16)^n
この値が10%より小さければよいので(13/16)^n＜0.01
よりn=23。
よって、９０％以上の確率で決まるのは２３回・・・答え

回答No.2

MagicianKuma

No1です。誤字訂正しておきます。6人がそれぞれ効果を投げて→硬貨
>男７人　女３人から３人選ぶとき女は平均何人選ばれるか？
一人目が選ばれたとき、10人全員可能性は同じと考えられます。二人目も9人全員可能性は同じです。三人目も
直感的には最初女性の割合は30%ですから、3人選んだときの女性の人数の期待値は0.3*3=0.9人 確かめましょう。
男3人の確率　　　　　　7*6*5/(10*9*8)
男2人女1人の確率　　　7*6*3/(10*9*8) *3
男1人女2人の確率　　　7*3*2/(10*9*8) *3
女3人の確率　　　　　　3*2*1/(10*9*8)
よって E(女の数)=1* 7*6*3/(10*9*8) *3+2* 7*3*2/(10*9*8) *3+3* 3*2*1/(10*9*8)=0.9人

お礼

ありがとうございました

回答No.1

MagicianKuma

>６人から１人えらんで硬貨をなげ１人だけ表もしくは裏なら決まり
日本語がいまいち理解しにくいが、6人がそれぞれ効果を投げて一人だけ裏か表で他の人がその逆の時決まる　という意味だとします。
1回の試行（6人が硬貨を1回投げる）で決まる　確率は　1人表-5人裏　または　１人裏-5人表の場合ですから、p=12/2^6=3/16
(1)何回投げれば９０％以上の確率で決まるか？
補集合を考えるのが分かりやすい。n回なげて決まらない確率<10%　　(1-3/16)^n<0.1 n≧12　よって12回
(2)平均何回できまるか？　確率p=3/16のベルヌーイ試行でk回目で成功する確率を考えると、これは幾何分布となり、平均値は1/p 　よって16/3回

>男７人　女３人から３人選ぶとき女は平均何人選ばれるか？
もう少し詳しく説明しておくれ。最初は10人でコインを一斉に投げ、一人だけ違っていれば、決定で抜けていき、次は9人で決まるまで・・・という意味？