精度、近似値について

質問

AとBの関係(比)について計算しています。
A＝365.24219...　　B＝ 224.62... とすると、
両者の関係はA÷B もしくは B÷Aで表されますよね？
計算結果1.62604... 0.614989... となりました。

この場合の精度？近似する数字として、
1.6250という値と、0.61500という値はどの位正確と言えるのでしょう？
前者ですと1000分の1位の誤差、後者ですと少数点第１位から数えて、10000分の１位の誤差と表現するのでしょうか？
実際は後者のほうが正確なのでしょうか？？

そもそも比の話なので、具体的なモノの精度ではありませんが、世間で言う『１万分の１の精度』とかケタ数での精度表現との関係はいかがでしょうか？

回答No.3

kon555 · ベストアンサー

>>精度の基準
　数学的な話は別として『測定』についての精度の基準というのは、そのまま『単位の基準』になります。

　身近な例で言うと、仮に百円ショップで物差しを買って、不安なのでその精度を確認したいとします。
　この時1番シンプルな方法は、既に『○○mm』と判明している何かを、その物差しで測る事です。間違いなく10mmの物を測って10.2mmだったなら、その差の0.2mm分が物差しのズレ≒測定精度（または測定誤差）です。

　しかし『間違いなく10mmの物』も、もっと細かく見ればズレているものです。10.001とか、10.0001、10.00000……というように。
　つまり間違いなく云々という物体もまた、何かより高精度の測定機器によって確かめられた数値です。『0.0001mmまで測れる機器で10mmジャスト』みたいな感じです。
　その測定機器はまた別の物体で、またその物体は別のもっと高精度な側面機器で……と辿っていくと、最終的には単位の定義値に行き着くわけです。

お礼

質問がハッキリしてきました！
仰られる『真値が1.62604、測定値が1.6250ならその差は0.00104ですから、1,000分の1程度の誤差と言って構いません。同様に真値0.614989と測定値0.61500なら、差が0.000011ですので100,000分(？)の１程度の誤差と表現できます。』で正しいのは分かりました。

① 1.6250＝25×13÷20÷10でして、分子分母を逆に、つまり１に割り算すると、0.61538となり、誤差0.000391ですから、最初の誤差0.000011よりも35倍不正確になります。
② 0.61500＝15×41÷40÷25でして、同様に変換すると1.626016となり、真値1.62604からの誤差0.000024ですから、最初の誤差0.000011よりも２倍不正確に見えます。
③つまり誤差の少なそうに見える②、0.61500という値は、A÷B系の比（関係性）に置き換えると、倍くらいの誤差0.000024になるのですが、この誤差の見かけ上の差分は、実は同じ値に収束するはずなので、幻かと思います。

何が言いたいのかと申しますと、「0.X…」という小数点から始まる数字の誤差は、『何万分の１程度の誤差』という言い方に関して、どの桁を基準にして良いか、よくわからない、という点で、
AとBの関係性を表す単なる「A分のB」「B分のA」という数字の配置は、分母と分子を逆転させると検算ができて、測定値1.6250と測定値0.61500はどちらが正確なのかというと、『測定値0.61500の方が３５倍もしくは２倍以上、正確であると、検算結果から言える』というのは変な表現ですが明らかかつ正しい数字で、この３５と２という値はケタが違っており(笑)、最初のケタが小数第１位から始まる数字だからと思います。つまり「小数点第１位から始まる数字の誤差は、１ケタ差し引いて誤差を表現するほうがふさわしく、『真値0.614989と測定値0.61500なら、差が0.000011なので、実質10,000分（！）の１と考えられる』というのが、正しいのかなぁ、と。

最初に出現する数字のケタからやはり数えると、正確に比較できるのかなぁ、と。。でも最初のご回答で、数字が抜けていたのは、神業な気がします^^ 素晴らしいです

回答No.2

ohkawa3

まずは、A＝365.24219...　　B＝ 224.62...という値が、どのように得られた値なのか・・・それぞれの不確かさ、両者の相関の程度に基づいて議論することが適切と思います。

A，Bが例えばある部材の異なる部位の長さであって、同じ測長器を使って、隣接したタイミングで測定したとします。きちんと整備された測長器を使っていれば、測定器のリニアリティーは十分良好でA，Bの値には強い相関があると考えられます。このような条件の場合は、A，Bの測定の不確かさ（絶対値）に対応する有効桁数よりも、A/B、B/Aのような比率の数字の有効桁数を増やすことは合理的と思います。有効桁数を増やすことに合理的根拠があるのですから、不用意に丸める必要はないということです。

A，Bが例えば、長さと質量のように別々の物理量であって、別々の測定器で測定するような場合であれば、A，Bの値は独立（無相関）と考えられると思います。このような場合は、A/B、B/Aのような比率の数字であっても有効桁数を増やして扱うことは、合理的ではないと思います。

いずれの場合であっても、A/B、B/Aのどちらで比較しても誤差の優劣は無いと考えていいと思います。

お礼

どちらといえば、数学の質問でしたが、実務界の人の回答が得られて参考になりました。a/bがもし分数の形でしたら、精度は関係ないのですが、少数になると精度が違ってきますので、その点でちょっと混乱していました。ありがとうございます！

回答No.1

kon555

『どの位正確と言えるか』というのがよく分からないのですが、カテゴリ的に測定の事だと判断して進めます。
　真値が1.62604、測定値が1.6250ならその差は0.00104ですから、1000分の1程度の誤差と言って構いません。
　同様に真値0.614989と測定値0.61500なら、差が0.000011ですので0000分の１程度の誤差と表現できます。
　単純比較していいかどうかはケースバイケースですが、誤差に一桁の差があるならば『後者のほうが正確』と形容して概ね間違いないでしょう。
(実際には最近は『誤差』と言わなくなっていますが、ディープな話になるので割愛)

　よく言われる「〇〇分の1の精度」という表現ですが、これは暗黙的に単位が省略されているだけで、多くの場合は基本的な単位(長さならmmとか)の事です。1mmという真値に対して、0.999mmとか1.001mmという測定値が出るなら千分の1の精度です。

　まあ慣用的な表現なので厳密性には欠けますし、明確なルールも無いですけどね。上記の例で言うとプラスマイナスで0.002mmの誤差があるが、千分の1の精度と言ったり言わなかったりします。

お礼

たぶん、お聞きしたい事に一番近かったです。
元々小数abの比（＝値）精度をどう表現したら良いか、基準があるのかな？と思ったのです。
つまり基準はなさそうですね。一番大きな位から何分の１かと数えて、10000分の１の精度と言ったりする、という感覚はなんとなくわかりました。こういうお話はオモシロイなと思います。
正式な表現が決まっていない？のは不思議なことですね。。