| e^(-jIm(z)t) | = 1？

質問

次の定積分を求めよ。
∫[0,∞] e^(-zt) dt ただしRe(z)>0

という問題で

=[- e^(-zt)/z][0,∞]

までは分かったんですが、それ以降が分からず答えを見ると、

=1/z
∵e^(-zt) = e(-Re(z)t) * e(-jIm(z)t)
| e^(-jIm(z)t) | = 1 だから

と書いてあります。
jは複素数の虚数です。iと思ってもらってかまいません。

e^(-zt) = e(-Re(z)t) * e(-jIm(z)t) の部分は実部と虚部で分けているのは分かります。
でも、| e^(-jIm(z)t) | = 1 が分かりません。
どうやって計算するのか教えてください。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>| e^(-jIm(z)t) | = 1 が分かりません。

e^(-jIm(z)t) は位相項ですから絶対値は1です。

あるいは
オイラーの公式を使えば
e^(-jIm(z)t)=cos(Im(z)t)-jsin(Im(z)t)
|e^(-jIm(z)t)|=√{cos^2(Im(z)t)+sin^2(Im(z)t)}=√1=1
(∵sin^2(θ)+cos^2(θ)=1)
となります。

また見方を変えれば
e^(-jIm(z)t)
は複素平面で単位円上を動くので絶対値（半径に等しい）は1であると言えます。

お礼

三段階の説明、超分かりやすかったです。
オイラーの公式で確実に分かりました。
それに単位円上でグルグル回っても半径は1で変わらないですよね。
ありがとうございました！