行列、連立一次方程式の問題です。

質問

｜ 2　1 a｜ ｜x｜ 　　｜0｜
｜-1　3 -1｜ ｜y｜ ＝　｜0｜
｜ 1 2 1｜ ｜z｜ 　　｜0｜　　（a：定数）を考える

行列がずれていたらすみません。

（１）　（ｘ、ｙ、ｚ）＝（0、0、0）以外の解をもつようにaの値を求めよ。

（２）　　aが（１）で求めた値でないとき、上の行列の逆行列を求めよ。

という問題が解けず困っています。

（１）は、消去法でやってみたのですが、うまく解けませんでした。
解くための、解説やヒントがあれば教えてください。
お願いします。

回答No.2

jamf0421

（１）はNo1さんのご説明の通りで、係数の行列の行列式=0が条件です。力ずくで行列式=0を計算することもそれほど大変ではありません。No1さんの出されたようにa=2です。実際もとの行列のaに2を代入すれば、一列目と三列目が同じとなることがわかります。
逆行列は左基本変形をする行列（行をゼロでない定数倍、行と行の入れ替え、ある行の定数倍を他の行に加える）を、もとの行列Aおよび、単位行列Eに加えます。左基本変形操作全体をXとすれば、Aに対してXA=Eとなるように計算すればEに対してはXE=Xですから、Aの逆行列Xがでます。分母にa-2を含んだ行列が出てきます。

回答No.1

owata-www

過程がわからないので、なぜ解けないかわかりませんが…

まず、行列の基本から
Aの逆行列が存在するとき
AX=Pの解を求めるためには両辺の左からA^-1（Aの逆行列）をかけて
A^-1AX=P⇔EX=A^-1P⇔X=A^-1Pとなります。
今回はP=0なので、(0,0,0)以外の解を持つためにはAの逆行列は存在しない必要があります。よって、AについてΔ＝0の必要があります。

こう、やるのが本来ですが、今回は2行目と３行目からy=0がでてきて、x=-zになります。これらを１行目に代入すると
-2z＋az＝（-2+a）*z＝０になります。ここで、a≠２だとz=0となり、題意を満たしません。よってa=２です。

計算が間違ってたらすいません。