最小値

質問

f(x)=x^2-2*log(x)
の最小値を求める方法を教えてください。ただし、対数は常用対数とします。

回答No.3

OurSQL

定義域が分からないのに、どうやって最小値を求めろというのか。

回答No.2

yyssaa

自然対数をlnで表すと、log(x)=lnx/ln10
f(x)=x^2-(2/ln10)lnx
f'(x)=2x-(2/ln10)/x
f''(x)=2+(2/ln10)/x^2＞0
よってf(x)は下に凸な曲線なので、f'(x)=0でf(x)は極小値
=最小値をとる。
f'(x)=0、x＞0より、x=(1/ln10)^1/2
このとき
fmin=1/ln10-(2/ln10)ln{(1/ln10)^1/2}
=1/ln10-(1/ln10)ln(1/ln10)
=1/ln10+(1/ln10)ln(ln10)=(1/ln10){1+ln(ln10)}
ln10≒2.30
ln(ln10)≒0.833
とすると
fmin=(1+0.833)/2.30≒0.800・・・答え

お礼

数値計算をすると最小値はおよそ０．８になることは分かっていたのですが、なぜ単純に”ｘ”で微分したらいけないのかが未だに良く分かっていません。もう少し勉強してみます。
yyssaaさんもferienさんもどちらもベストアンサーです。
ありがとうございました。

回答No.1

ferien

＞f(x)=x^2-2*log(x)
＞の最小値を求める方法を教えてください。ただし、対数は常用対数とします。
ｆ（ｘ）＝ｘ^2－２log[10]ｘ　　ｄ／ｄｘ（log［10]ｘ）＝（１／log１０）・（１／ｘ）だから、
微分して、ｆ'（ｘ）＝２ｘ－（２／log１０）（１／ｘ）
ｆ'（ｘ）＝０より、２ｘ－（２／log１０）（１／ｘ）＝０
ｘ^2－（１／log１０）＝０
真数条件より、ｘ＞０だから、ｘ＝√（１／log１０）（＝０.６５９０……）
このとき、ｆ（ｘ）が極小値かつ最小値（増減表で確認して下さい。）
ｘ^2＝１／log１０
ｆ（ｘ）＝ｘ^2－log[10]ｘ^2だから、
最小値は、（１／log１０）－log［10]（１／log１０）（＝０.７９６５……）

どうでしょうか？

お礼

数値計算をすると最小値はおよそ０．８になることは分かっていたのですが、なぜ単純に”ｘ”で微分したらいけないのかが未だに良く分かっていません。もう少し勉強してみます。
yyssaaさんもferienさんもどちらもベストアンサーです。
ありがとうございました。