平面ベクトルの問題です

質問

∠A=60゜,AB=8,AC=5である△ABCの内心をIとする。
↑AB=↑b,↑AC=↑cとするとき。↑AIを↑b,↑cを用いて表せ。

よろしくお願いしますm(__)m

回答No.2

ferien

＞∠A=60゜,AB=8,AC=5である△ABCの内心をIとする。
＞↑AB=↑b,↑AC=↑cとするとき。↑AIを↑b,↑cを用いて表せ。
余弦定理より、
ＢＣ^2＝ＡＢ^2＋ＡＣ^2－２×ＡＢ×ＡＣ×cos60゜
＝８^2＋５^2－２×８×５×(1/2)
＝６４＋２５－４０
＝４９より、ＢＣ＝７
Ｉは内心だから、
ＡＩは∠Ａの二等分線であるから、その延長とＢＣとの交点をＤとすると、
ＡＤも∠Ａの二等分線だから、
ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ＝８：５より、
ベクトルＡＤ＝(5/13)ＡＢ＋(8/13)ＡＣ
＝(5/13)ｂ＋(8/13)ｃ
同じく
ＢＩは∠Ｂの二等分線であるから、その延長とＡＣとの交点をＥとすると、
ＢＥも∠Ｂの二等分線だから、
ＣＥ：ＥＡ＝ＢＣ：ＢＡ＝７：８より、
ベクトルＢＥ＝(8/15)ＢＣ＋(7/15)ＢＡ
＝(8/15)（ＡＣ－ＡＢ）＋(7/15)（－ＡＢ）
＝－ＡＢ＋(8/15)ＡＣ
＝－ｂ＋(8/15)ｃ

Ａ，Ｉ，Ｄは一直線上にあるから、
ＡＩ＝ｍＡＤとおける
ＡＩ＝ｍ｛(5/13)ｂ＋(8/13)ｃ｝
＝(5/13)ｍｂ＋(8/13)ｍｃ　……（１）
Ｂ．Ｉ，Ｅは一直線上にあるから、
ＢＩ＝ｎＢＥとおける
ＡＩ－ＡＢ＝ｎ｛－ｂ＋(8/15)ｃ｝
ＡＩ＝－ｎｂ＋(8/15)ｎｃ＋ＡＢ
＝（１－ｎ）ｂ＋(8/15)ｎｃ　……（２）
（１）（２）を係数比較すると、
(5/13)ｍ＝１－ｎ，(8/13)ｍ＝(8/15)ｎ
連立方程式で解くと、
ｍ＝１３／２０，ｎ＝３／４
よって、
ＡＩ＝（１／４）ｂ＋（２／５）ｃ

回答No.1

goldmine_1984

ベクトル嫌いなんで、極力ベクトルに触れるのが少ない方法を…ｆ（＾＾；ｗ

余弦定理より
BC^2＝8^2＋5^2－2・8・5・cos60°
　　＝49
BC＝±7
BC＞0より
BC＝7

△ABCの面積をSとすると
S＝(1/2)・8・5・sin60°
＝10√3

△ABCの内接円の半径をrとすると
S＝(1/2)・(8＋5＋7)・r
＝10r

よって、r＝√3

ここで、内心の性質より
内心と頂点Aを結ぶ直線は∠Aを二等分する。
すなわち、内心Iは頂点Aの内角の二等分線上の点となる。

また、内心Iから辺ABに垂直に下ろした垂線の足をHとすると、
△AIHは∠H＝90°，∠A＝30°の直角三角形である。
ゆえに、AI＝2・r すなわち2√3となる。

ここで直線AIと辺BCの交点をJとすると
点Jは辺BCを8：5に内分する点なので、
↑AJ＝(5/13)↑b＋(8/13)↑c
|↑AJ|^2＝↑AJ・↑AJ
　　　　＝8^2・(5/13)^2＋(2・5・8/13^2)↑b・↑c＋5^2・(8/13)^2
　　　　＝(5・8^2/13^2)＋(5^2・8/13^2)＋(2・5・8/13^2)・8・5・cos60°
　　　　＝(5・8/13^2)・(8＋5＋8・5)
　　　　＝5・8・53/13^2
|↑AJ|＞0より
|↑AJ|＝(√5・8・53)/13

点Iは直線AJ上の点で点Aからの距離が2√3の点なので、
↑AI＝(↑AJ/|↑AJ|)・2√3
　　＝2√3・{(5/13)↑b＋(8/13)↑c}/{(√5・8・53)/13}
　　＝(√1590)/530・(5↑b＋8↑c)

…なんか汚い数字になって不安ですが。。
計算ミスがなければあってるかとｆ（＾＾；ｗ
少なくとも方針的にはそんなにずれてないと思いますm(_ _)m

他には法線ベクトルを利用したりすることもできるかな。
だいぶ現役を遠のいてしまったんで、もっと簡単なやり方があるかもしれません。