重調和方程式を変数分離法で解く。

質問

変数分離法で重調和方程式を解きたいのですが、解けません。　その方程式は、

∇^2＝∂^2/∂r^2+(1/r)*∂/∂r+(1/r^2)*(∂^2/∂θ^2)　　　　　　（１）

としたときに、　∇^4*X=0

というものです。

解法ですが、まず

　　P=∇^2*X　　　　　　（２）

とおいて（１）式に代入すると∇^2*P＝０となります。まずこれを変数分離法で
解いて、これの答えを（２）式に代入し、再度変数分離法を適用するとありますが、
この、再度行うというのが分かりません。∇^2*P＝０として変数分離するところまでは
わかりますが、それ以降はさっぱりです。どなたか助けてください。

ちなみに答えは

http://www.md.ams.eng.osaka-u.ac.jp/~nakatani/Lectures/Fundamentals_of_Solid_Mechanics/TEXT/HTML/node73.html

の（４３５）式です。

回答No.1

grothendieck

このサイトには立派な「自称専門家」が多数いらっしゃるのになぜ解答して下さらないのでしょう。きっと問題が簡単すぎて「専門家」が回答するまでもないということでしょうね。
「∇^2 P＝０として変数分離するところまではわかります」とあるので
　∇^2 P＝0　の解が　
P = Σ(Rn(r)cos(nθ) + Qn(r)sin(nθ))
のように求まっているとします。すると
　∇^2 χ = Σ(Rn(r)cos(nθ) + Qn(r)sin(nθ))
は確かにこのままでは変数分離できませんが、χn, χ'nを
　∇^2 χn = Rn(r)cos(nθ)
などの解とすると∇^2 の線形性より
　∇^2 Σ(χn + χ'n)
= Σ∇^2 (χn + χ'n) = Σ(Rn(r)cos(nθ) + Qn(r)sin(nθ))
なのでχn, χ'nを求めればよいことになり、変数分離できます。