条件の問題

質問

添付した画像の問題の解説をお願いしたいです！

解答
(1)3
(2)4
(3)7
(4)2

どのように解いたか説明していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

ｐ：（ａ＋ｂ）^2＋（ａ－２ｂ）^2＜５
ｑ：｜ａ＋ｂ｜＜１　または ｜ａ－２ｂ｜＜２

＞（１）ｑならばｐ（ｑ　→　ｐ）は、｛（ｑでない）またはｐ｝　と同じ真理表になります。
例えば、命題が真なら１，命題が偽なら０として、真理表にすると、
（ｑ，ｐ）（ｑでない）｛（ｑでない）またはｐ｝＝（ｑならばｐ）の順とすると、
（１，１）（０）（１）
（１，０）（０）（０）
（０，１）（１）（１）
（０，０）（１）（１）だから、
「ｑが真１ｐが偽０」の時だけ（ｑならばｐ）は偽０（命題が成り立たない）と言うことになります。

設問の全部の場合をｐとｑの式に代入してみます。
（０）ａ＝０，ｂ＝０のとき、
ｑ：｜０｜＝０＜１または｜０｜＝０＜２で真
ｐ：０^2＋０^2＜５で真　だから（ｑならばｐ）は真
（１）ａ＝１，ｂ＝０のとき
ｑ：｜１｜＝１＜１または｜１｜＝１＜２　どちらかが成り立てばよいから真
ｐ：１^2＋１^2＝２＜５で真　だから（ｑならばｐ）は真
（２）ａ＝０，ｂ＝１のとき
ｑ：｜１｜＝１＜１または｜－２｜＝２＜２で偽
ｐ：１^2＋（－２）^2＝５＜５で偽　だから（ｑならばｐ）は真
（３）ａ＝１，ｂ＝１のとき
ｑ：｜２｜＝２＜１または｜－１｜＝１＜２　で真
ｐ：２^2＋（－１）^2＝５＜５で偽　だから（ｑならばｐ）は偽

だから、（３）が反例になります。（２）も反例のような気がして迷いますが（だから真理表で確認しました）命題がどういう場合に偽になるかを覚えておけばいいと思います。

＞（２）（ｐならばｑ）の対偶は、｛（ｑでない）ならば（ｐでない）｝
ド・モルガンの法則より、
＞ｐ：（ａ＋ｂ）^2＋（ａ－２ｂ）^2＜５
ｐでない：（ａ＋ｂ）^2＋（ａ－２ｂ）^2≧５　……（４）
＞ｑ：｜ａ＋ｂ｜＜１　または ｜ａ－２ｂ｜＜２
ｑでない：｜ａ＋ｂ｜≧１　かつ ｜ａ－２ｂ｜≧２　……（７）

＞（３）命題は（十分条件）→（必要条件）で、
ｐ→ｑが真のときは、ｐはｑであるための十分条件，ｑはｐであるための必要条件といいます。
グラフを描いて、領域をみれば分かりますが、
ｐは楕円の内部，ｑは４本の直線で囲まれた平行四辺形の内部で、どちらも境界を含みません。
ｐの領域がｑの領域に含まれています。
ｐであれば必ずｑであるので、ｐならばｑは真であるけれども、
ｑであってもｐであるとは限らないので、ｑならばｐは偽。
だから、「ｐはｑであるための十分条件であっても必要条件でない」……（２）

でどうでしょうか？
教科書などで、真理表や用語の意味を確認して下さい。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
分かりやすい解説ありがとうございました！

回答No.4

ferien

aNo.3です。済みません。訂正です。

＞ｐは楕円の内部，ｑは４本の直線で囲まれた平行四辺形の内部で、どちらも境界を含みません。
ではなくて、
＞ｐは楕円の内部，ｑは２本の平行な直線で作られた帯が２つ交差したような領域で、どちらも境界を含みません。（帯が交差した当たりに楕円があります。）

でお願いします。

お礼

訂正ありがとうございます。

回答No.2

addevent

う～ん、添付画像の画質が粗い(＞＜)
条件pの添え字は両方2ですか？

とりあえず、解説だけ書きます。

（１）命題「q⇒p」の反例の見つけ方。
選択肢の中から、条件qをみたす例（a,bの組み合わせ）を探します。
その例の中で、条件pは満たさない例があればそれが反例。
(3)を計算すれば、qは満たすけど、pは満たさない事を確認すればOK。

（２）命題「p⇒q」の対偶は、「qの否定⇒pの否定」です。
つまり、イにはqの否定が、ウにはpの否定が入ります。
qの否定は、「|a+b|<1でないかつ、|a-2b|<2でない」です。
ここがわからない場合は、集合論の否定について調べましょう。
pの否定は、「（左辺）<5でない」。

（3）この問題は、出題者の誘導が親切すぎるので(1),(2)の問題文を読むだけで雰囲気から正解が出そうですね。

まず、必要十分条件のおさらいから。
命題「a⇒b」が成立する時、「aはbであるための十分条件」、「bはaであるための必要条件」と呼びます。これだけ。
注意すべきは、「pはqであるための～」って呪文は「p⇒q」の時と「q⇒p」の時に出てくるので、両方考えないとダメってところ。

(1)で、命題「q⇒p」には反例があったので、この命題は不成立。
なので、「pはqであるための必要条件」ではありません。
次に、命題「p⇒q」が成立すれば、「pはqであるための十分条件」となります。
これが成立する事を示します。
命題「p⇒q」と、命題の対偶「qの否定⇒pの否定」は意味が同じです。
命題「p⇒q」の証明が難しそうな時は、命題の対偶を証明しましょう。
(2)から、qの否定が「|a+b|≧1かつ、|a-2b|≧2」とわかっています。
ここから、(a+b)^2≧1かつ(a-2b)^2≧4が成立するので、(a+b)^2+(a-2b)^2≧5です。
これは、pの否定ですよね。（添え字あってますか？？）
なので、対偶は成立。よって、命題も成立。以上

この問題は、対偶、否定、必要十分条件の復習問題なので、(2)と(3)の前半がわかればよし。
高校生は休みの夜も大変ですな。。

お礼

お礼が遅れてしまい申し訳なかったです。
解説ありがとうございました！

回答No.1

asuncion

とりあえず対偶の話だけ。
命題「pならばq」の対偶が「qでないならばpでない」であることは理解されていますか？
qでないというのは、選択肢のうちどれでしょうか。
pでないというのは、選択肢のうちどれでしょうか。
ド・モルガンの法則を使う必要があるかもしれません。

お礼

お礼が遅れて申し訳ありません！
ありがとうございました！