解説お願いします。

質問

2012 スタンダード160

(1)円(x-2)^2+(y-1)^2=2によって、直線x+y-k=0が切り取られてできる線分の長さが2となるとき、kの値を求めよ。

(2)直線y=-3x-4が円x^2+y^2-6x+10y+26=0により切り取られてできる線分の垂直二等分線の方程式を求めよ。

解答

(1)k=3±√2
(2)y=1/3x-6

解説していただけると助かります！

回答No.5

NemurinekoNya · ベストアンサー

(1)
円(x-2)^2+(y-1)^2=2と直線x+y-k=0の交点をA、Bとする。
円の中心C(2,1)から直線x+y-k=0の垂線と直線との交点をPとする。
円と直線の距離d
d = |2+1-k|/√(1^2+1^2) = |3-k|/√2 = |k-3|/√2
AB=2より
AP=BP=1
三角形CAPは直角三角形なので三平方の定理より
1^2+d^2=(√2)^2 …(√2は円の半径)
1+|k-3|/√2 = 2
|k-3|/√2 = 1
|k-3|=√2
よって
k-3=±√2　　　　　　　…(絶対値の扱いが苦手なら|k-3|^2=(k-3)^2から出ます)
k=3±√2

(2)
x^2+y^2-6x+10y+26=0
(x-3)^2+(y+5)^2=8
よって円の中心は(3,-5)
円によって垂直二等分線は直線y=-3x-4と直交するので
求める垂直二等分線の直線の式の傾きmは
m×(-3) = -1 …（直線の直交条件）
m = 1/3
垂直二等分線の方程式は円の中心(3,-5)を通るので
y-(-5) = 1/3(x-3)
y=1/3x-6

お礼

分かりやすい解説を本当にありがとうございます！
もう一度自分でやってみます！

回答No.4

asuncion

(2)
なるほど、円の中心を通る傾き1/3の直線でいいわけか。
円の中心は(3,-5)だから、y=(x/3)+bにおいて
-5=3/3+bよりb=-6
∴y=(x/3)-6
こちらの方が私の先ほどの回答（エレファント）よりずっとエレガントである。

お礼

解き方にもいろいろなアプローチのしかたがあるんですね！
そのあたりにも気づけるようになりたいものです！

回答No.3

asuncion

おっと失礼。

＞両端の座標の中点(3/5,-29,5)

両端の座標の中点(3/5,-29/5)

お礼

補足ありがとうございます。

回答No.2

asuncion

(2)
直線と円との交点を求める。
x^2+y^2-6x+10y+26=0
に
y=-3x-4
を代入する。
x^2+(-3x-4)^2-6x+10(-3x-4)+26=0
10x^2-12x+2=0
5x^2-6x+1=0
(5x-1)(x-1)=0
x=1/5,1
このとき、y=-23/5,-7
よって、直線が円によって切り取られる線分の両端の座標は(1/5,-23/5)と(1,-7)
求める垂直二等分線は、両端の座標の中点(3/5,-29,5)を通り、傾きが1/3の直線である。
y=(x/3)+b
にx=3/5,y=-29/5を代入する。
-29/5=1/5+b
b=-6
∴求める垂直二等分線の式はy=(x/3)-6

お礼

分かりやすい解法をありがとうございます！
とても助かりました！

回答No.1

alice_44

(1)
そのためには、(2,1) と直線の間の距離が
いくらであればよいか。

(2)
y = -3x-4 に垂直で、(3,-5) を通る直線。

お礼

ありがとうございます！
やってみたら解けました！