静止摩擦力で斜面に止まっている物を弾いた場合の挙動

質問

鉛直方向に対してθの角度を持つ斜面に、質量mの物体があって、静止摩擦力で止まっています。この物体と斜面の動摩擦係数をμ、静摩擦係数をμ'として、斜面の角度θが、
μmg・sinθ < mg・cosθ < μ'mg・sinθ
の関係を満足しているものとします。即ち、下向きの初速が有れば落ち続けれども初期に止まっていれば動き出すことはない程度の角度に設定されています。この斜面を横から見たものが図1、上空から見たのが図2です。この物体mに初速を与えた後、どうなるかに関する質問です。

1) 図1の左下向き、Aの方向に初速を与えれば、物体mは落ち続け、止まらないと思います。
2) 図1の右上向き、Bの方向に初速を与えれば、物体mは斜面を少し登って止まると思います。
3) 図1の奥行き方向、図2のCの方向に初速を与えた場合、やはり物体mは落ち続けて止まらないと思うのですが、正しいでしょうか？
4) BとCの間、Dの方向に初速を与えた場合には、物体mは奥行き方向に移動しながら斜面を少し登った後、下向きに向きを変えて落ち続けると思うのですが、正しいでしょうか？
5) もし4)が正しいなら、実質的には厳密にBの向きということは無いでしょうから、物体mが現実には止まる2)の場合というのは存在しないのではないかと思いますが、これは正しいでしょうか？

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

(1)～(3)は正しいと思います。
(4)では、動摩擦は移動方向と逆向きに働くので、摩擦力はA方向成分とC方向成分を持ち、
その結果、A方向とC方向共に減速し、両方の速度成分が同時に0になった場合に斜面上で静止するはずです。
その条件が満たされなければ、最終的にはC方向の速度は0になり、A方向と平行に斜面を滑りおります。
したがって、D方向が限りなくB方向に近かった場合、早々にC方向の速度成分は0になってB方向と平行な方向に斜面を上昇し、やがて静止します。

と思いますが。

お礼

奥行き方向の動きが止まる時点で上下方向の成分が下向きに転じない程度にDがBに近ければ、その時点で静止するわけですね。当初は上死点で必ず奥行き成分が残るのではないかと思ってしまっておりましたが、アキレスと亀の類の錯覚だったようです。よく考えたら理解できました。有難うございました。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

まず、完全に静止しないと静止摩擦は働かないという考え方はあやまりだと思います。

速度が十分に小さくなれば、静止摩擦につかまり、最後の一瞬に
速度が急減します。どのくらい小さくなればそうなるかはこすれあう
表面の状況に依ると思います。
＃車のブレーキも完全に止まる瞬間に若干ショックが有りますよね。
＃あれが静止摩擦につかまった瞬間です。
＃こすれある物体の表面の凹凸がかみ合って固定される瞬間と思われます。

4) のケースは物体が落ち始める前に奥行き方向の減速が
十分ならば、向きを変えた瞬間、静止摩擦につかまると思います。

十分でないうちに落ち始めると、落ち続けるでしょう。

お礼

有難うございます。4)のケースはよく考えたら間違いであることがわかりました。現実に完全に止まらなくても静止摩擦力が働くのは、振動成分があるからということではないのでしょうか？