数学の基礎事項 ～２つの図形の共有点～

質問

ある２つの図形において、

共有点があるとき、必ず二つの方程式の連立方程式の解はその共有点の数だけある。

共有点が一つもないとき、必ず二つの方程式の連立方程式の解は一つもない。

ただし、これらは実数解に限る（虚数解の場合はこれらの事が言えない）。

上記に間違いがあれば、教えてください！

回答お願いします。

回答No.2

dieucreateur · ベストアンサー

合ってますよ。

ただ、正確には「図形」についてもうすこし細かい説明がいるでしょう。
「その図形は方程式で表されるものである」とか。
「図形は線のみで構成されている」とか。
内部も含むならば不等式で表されるわけですが。

共有点が無い＝連立方程式が実数解を持たない＝連立方程式が虚数解を持つ
です。
細かいことを言えば、
連立方程式の最高次数がnで（x,y,z,…のなかの最高のもの）あるなら、
共有点の個数がm（≦n）のとき、実数解はm個（重複する可能性あり）
虚数解はn-m個あります。
（mは接していても個別に数える時の値です。）

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

stomachman

ご質問の内容は、「理解していれば当たり前」という話であって、「憶えること」なんかじゃありません。

●「方程式 f(x,y)=0が表す図形」というのは、方程式 f(x,y)=0の実数解の集合{(x,y) | x∈R ∧ y∈R ∧ f(x,y)=0}のことです（Rは実数全体の集合）。たとえば
　　f(x,y)=x^2 + y^2 -1
であれば、その解の集合は{(x,y) | x∈R ∧ y∈R ∧ f(x,y)=0}です。
　この集合の要素を直交座標系(x,y)にプロットすると円が現れる。しかし円になったのはたまたま直交座標系(x,y)を使ったからであって、これが極座標系(x,y) (xは半径, yは角度）だと変な格好になるでしょう。(だから「f(x,y)は円の方程式だ」というのは、不正確な言い方です。）さて、「方程式 f(x,y)=0が表す図形」とは、こういう話とは無関係に（つまり、どんな座標系で描こうともとも関係なく、従って、円だとか変な格好だとかとも関係なく）集合{(x,y) | x∈R ∧ y∈R ∧ f(x,y)=0}そのもののことです。絵に描いた図形のことだとは思わない方が良いですね。

●「二つの方程式の連立方程式の実数解の集合」は、集合 {(x,y) | x∈R ∧ y∈R ∧ f(x,y)=0} と {(x,y) | x∈R ∧ y∈R ∧ g(x,y)=0})の共通部分、すなわち集合( {(x,y) | x∈R ∧ y∈R ∧ f(x,y)=0} ∩ {(x,y) | x∈R ∧ y∈R ∧ g(x,y)=0} )のことです。
　(p,q)がこの集合の要素である、ということを「(p,q)は二つの方程式の連立方程式の実数解である」とも言えますね。

●「二つの図形A, Bの共有点(p,q)」とは、（図形ってのは点の集合のことですから、）(p,q)が集合Aの要素であり、同時に集合Bの要素でもある、ということです。つまり、
　　(p,q) ∈ A ∩ B
である。「二つの図形A,Bの共有点の集合」は、 A ∩ Bです。

　以上がお分かりになれば、ご質問の答は自明でしょう。

お礼

回答ありがとうございました。