数学の問題 教えてください

質問

初めて投稿させていただきます。
下記の数学の問題が分からず教えてください

a=√(3＋2√2) , b=√(3-2√2) のとき　(a+b)^2 を求めよ

という問題で

解答が a=√2+1 b=√2-1
より a+b=2√2
(a+b)^2=8

となっているのですが
何故、a=√2+1 b=√2-1となるのか分かりません。
解き方を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.5

uckazuki · ベストアンサー

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-to-siki/seisiki/henkan-tex.cgi?target=/math/category/suu-to-siki/seisiki/nijyuu-kongou-no-hajusikata.html

こちらのサイトに二重根号の外し方についてわかりやすく乗っています。ぜひ参考に。

お礼

ご回答ありがとうございます。このような問題には解き方があったのですね。参考させていただいたサイトの説明とても分かりやすかったです。

回答No.4

mister_moonlight

2重根号を外すのが、一般的な方法ではある。
しかし、この問題に限れば、その必要はない。

Ｐ＝(a+b)^2＝(a＾2+b＾2)+2ab。
a＾2+b＾2＝(3＋2√2)＋(3-2√2)＝6.　ab＝(√(3＋2√2))*√(3-2√2)＝9-8＝1.
よって、Ｐ＝(a+b)^2＝(a＾2+b＾2)+2ab＝8.

お礼

ありがとうございます。たいへんよく分かりました。通常の解法でも解けたのですね。

回答No.3

hitomura

a=α+β√2 と書けると仮定して、これを2乗すると
　a^2=α^2+2β^2+2αβ√2
となりますが、a=√(3＋2√2)ですから
　α^2+2β^2+2αβ√2=3＋2√2
となり、
　α^2+2β^2=3, 2αβ√2=2√2 すなわち αβ=1
となります。αβ=1ですからα≠0で、β=1/αと書けます。これを上の前のほうの式に代入して、
　α^2+2(1/α)^2=3 すなわち α^2-3+2(1/α)^2=0
となり、両辺にα^2を掛けると
　(α^2)^2-3(α^2)+2=0
という、(α^2)に対しての2次方程式になります。これを解くと
　(α^2)=1, 2 すなわち α=±1, ±√2
となりますが、負値の解は αβ=1 からβも負にするためaが負になってしまいます。これは√の定義に反するため、正値の解のみ考えます。
α=1のとき、β=1/1=1, a=1+√2
α=√2のとき、β=1/√2, a=√2+√2/√2=√2+1
となり、どちらにしてもa=√2+1であるという結論になります。

bのほうも同じ手順で√2-1が導けますが、……ごめんなさい、bのほうが後半の場合わけが面倒でした（「負値の解は……負になってしまいます」の部分が成り立たないため4パターンすべてを確認する必要がある）。

お礼

詳細な説明ありがとうございます。

回答No.2

noname#157574

二重根号の計算
√(m+n±2√(mn))=√m±√n　m>n，複号同順
による。

お礼

とてもよく分かりました。ありがとうございます。

回答No.1

Willyt

a=√(3＋2√2)=√(2+2√2+1)=√(√2+1)^2=√2+1

b=√(3-2√2)=√(2-2√2+1)=√(√2-1)^2=√2-1

です。

お礼

途中経過式を書いてくれてありがとうございます。どのようにして解くのかよく分かりました。