放物線と法線の問題。

質問

【問題】

P1：y=-x^2-3/16

P2：y=x^2＋1/4

において、
P1の接線の法線が、P2の接線となる場合の法線の式を
教えてください。

回答No.4

info22_

#3です。

A#3の回答でのP1の接線と法線の図を描きましたので添付します。
P1は上に凸の放物線、P2は下に凸の放物線になり、黒の実線で示します。
A#3でP1の接線の接点のx座標a　と　P2の接線（P1の法線）の接点のx座標b
の組み(a,b)が２通り存在しましたので、ご質問の法線（水色の直線）も
２通り存在します。
P1の青線の接線1,接線2に対して、それぞれ、水色の法線1,法線2が引けます。
これは、P1,P2がY軸対称なので、当然、Y軸に対称な法線が２本引けることが
分かるでしょう。

回答No.3

info22_

P1上の点A(a,-a^2-(3/16))における
P1の接線は
　y=-2a(x-a)-a^2-(3/16)
　y=-2ax+a^2-(3/16) ...(A)
なので
P1の点Aにおける法線は
　y=(1/(2a))(x-a)-a^2-(3/16)
　y=(x/(2a))-a^2-(11/16) ...(B)

P2上の点B(b,b^2+(1/4))におけるBにおける接線は
　y=2b(x-b)+b^2+(1/4)
　y=2bx-b^2+(1/4) ...(C)
(B)と(C)が一致するとき
　1/(2a)=2b かつ　-a^2-(11/16)=-b^2+(1/4)
整理して
　4ab=1, b^2-a^2=15/16
a,bの連立方程式と見倣して解くと

　(a,b)=(1/4,1),(-1/4,-1)

>P1の接線の法線が、P2の接線となる場合の法線の式を
>教えてください。
（A),(C)にa,bを代入すれば接線と法線の式が得られるから

P1の接線がy=-(x/2)-(1/8)の時の法線は y=2x-(3/4)
または
P1の接線がy=(x/2)-(1/8)の時の法線は y=-2x-(3/4)

となります。

回答No.2

asuncion

おっと失礼。

＞(5)より、c=-5/8
＞∴求める法線の式は、y=2x-(5/8)およびy=-2x-(5/8)

これは間違い。

(5)より、c=-3/4
∴求める法線の式は、y=2x-(3/4)およびy=-2x-(3/4)

だと思います。

回答No.1

asuncion

P1における接点をA(a,-a²-(3/16))とする。
P2における接点をB(b,b²+(1/4))とする。

点Aにおける接線の傾き=-2aより、
点Aにおける法線の傾き=1/(2a) … (1)
また、点Bにおける接線の傾き=2b … (2)
(1)=(2)より、b=1/(4a)
よって、点Bの座標をaを用いて表わすと(1/(4a),(1/(16a²))+(1/4))となる。

点Aにおける法線の式は、y=x/(2a)+c
これが点Aと点Bを通るので、
-a²-(3/16)=(1/2)+c … (3)
(1/(16a²))+(1/4)=(1/(8a²))+c … (4)

(3)よりc=-a²-(11/16) … (5)
(5)を(4)に代入して、
(1/(16a²))+(1/4)=(1/(8a²))-a²-(11/16)
a²-(1/(16a²))+(15/16)=0
16a⁴+15a²-1=0
(a²+1)(16a²-1)=0
aは実数であるので、a=±1/4
(5)より、c=-5/8
∴求める法線の式は、y=2x-(5/8)およびy=-2x-(5/8)

合っているかどうかはわかりません。