三角方程式

質問

1≦m≦10、m∈Z、0≦t≦2πをみたすm、tについて
cos3t=cos(m-1)t かつ cos3t-cos(m+2)t+cos(m-1)t-1=0
をみたす(m,t)をすべて求めよ

という問題があるのですが(計算過程ですので元の問題そのままではありません)、解き方がわからなくて困っています
条件式の前者を後者に代入し、
2cos3t-cos(m+2)t=1
などと変形してみたりしたのですが和積でまとめようとしても、係数が違うのでできませんし、=0ではなく=1なところもネックです
何かうまいとき方があればぜひご教授ください

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

cos3t-cos(m+2)t+cos(m-1)t-1=0

倍角の公式と和積の公式を使って、

1-2sin^2(3t/2)+2sin((2m+1)t/2)sin(3t/2)-1=0
sin(3t/2)(sin(3t/2)-sin((2m+1)t/2))=0

sin(3t/2)=0　または　sin(3t/2)=sin((2m+1)t/2)

お礼

お礼が遅くなり大変申し訳ありません
ご回答ありがとうございます

なるほど！その方法ですと定数項が消えて因数分解できますね
参考になりました
ありがとうございます

回答No.5

yyssaa

済みません、間違えました。
ANo.4の回答は無視して下さい。

お礼

お礼が遅くなり大変申し訳ありません
ご回答ありがとうございます

回答No.4

yyssaa

cos3t=cos(m-1)t
cos3t-cos(m+2)t+cos(m-1)t-1=0
より
cos3t-cos(m+2)t+cos3t-1=0
2cos3t-cos(m+2)t-1=0
3t=(m-1)tより4t=mt、(m+2)t=mt+2t=4t+2t=6t
よって上式は
2cos3t-cos6t-1=0
2cos3t-(cos3tcos3t-sin3tsin3t)-1=0
2cos3t-(cos^2(3t)-sin^2(3t))-1=0
2cos3t-(cos^2(3t)-(1-cos^2(3t)))-1=0
2cos3t-(2cos^2(3t)-1)-1=0
cos3t-cos^2(3t)=0
cos3t(1-cos(3t))=0
cos3t=0、cos(3t)=1
0≦t≦2πより0≦3t≦6π
よって
3t=0、π/2、3π/2、2π、5π/2、7π/2、4π、9π/2、11π/2、6π
cos3t=cos(m-1)tよりmは
(m-1)t=3t、(m-1)t=2π±3t、(m-1)t=4π±3t、(m-1)t=6π-3t、の
いずれかを満足しなければならない。
3t=0の場合、(m-1)t=3tよりmは1≦m≦10のすべての値
3t=π/2、t=π/6の場合、
(m-1)t=3tよりm=4、
(m-1)t=2π±3tよりm=10、(m=16は範囲外)
3t=3π/2、t=π/2の場合、
(m-1)t=3tよりm=4、
(m-1)t=2π±3tよりm=2、8
(m-1)t=4π±3tよりm=6、(m=12は範囲外)
(m-1)t=6π-3tよりm=10
3t=2π、t=2π/3の場合
(m-1)t=3tよりm=4、
(m-1)t=2π±3tよりm=1、7
(m-1)t=4π±3tよりm=4、10
(m-1)t=6π-3tよりm=7(上と重複)
3t=5π/2、t=5π/6の場合
(m-1)t=3tよりm=4、
(m-1)t=2π±3tよりm=2/5、32/5
(m-1)t=4π±3tよりm=14/5、44/5
(m-1)t=6π-3tよりm=26/5
後は同様に計算して下さい。

お礼

お礼が遅くなり大変申し訳ありません
ご回答ありがとうございます

回答No.2

Knotopolog

2cos(3t)-cos(m+2)t=1

で，いいと思いますが・・・．　後は，変形して，

m+2 = arccos[(2cos(3t)-1)/t]

になります．ここで，m　は，1≦m≦10、m∈Z　により，

m = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

でしょうから，m+2 = arccos[(2cos(3t)-1)/t]　に m を順番に入れて，

3 = arccos[(2cos(3t)-1)/t]

4 = arccos[(2cos(3t)-1)/t]

・・・・・・・・

12 = arccos[(2cos(3t)-1)/t]

を１０回計算すると，１０個の t が得られて終わりです．

お礼

お礼が遅くなり大変申し訳ありません
ご回答ありがとうございます

arccosというのは確かcosの逆関数でしたよね
高校数学の範囲で出来ればお応えいただきたいと思います

回答No.1

mister_moonlight

＞計算過程ですので元の問題そのままではありません

なら、元の問題を書いた方が良いんじゃないか。
ここまでの君の推論が正しい、という保証はない。この時点で既に間違ってる事もありうる。

お礼

お礼が遅くなり大変申し訳ありません
ご回答ありがとうございます

おっしゃるとおりですね
元の問題は東京大学2010年理科前期第5問です
以下URLを貼ります

http://www.j3e.info/ojyuken/math/php_q.php?name=tokyo&v1=1&v2=2010&v3=1&y1=2010&n1=1&y2=2010&n2=2&y3=2010&n3=3&y4=2010&n4=4&y5=2010&n5=5&y6=2010&n6=6&y7=0000&n7=0