平面の方程式の問題です。

質問

A(１，２，３)を通る光線が平面２ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点Bで反射してC（３，２，２）を通るという。この時点Bの座標を求めよ。答えは（－3/5,4/5,7/5）です。解き方を教えてください。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

Aからの光が平面上の点Bで反射して、Cを通る、
光は最短距離となるルートを通るので、
AB+BCを最小にするようなBを見つければ
いいことになります。

平面上の直線で、こういう点を見つける問題だと、
子供向けパズルの問題にもよくありますが、

・その直線について、Aの対称点A'を求める。
　　対称性から、A'B=AB、
　　AB+BC = A'B+BC、これを最小にするには、
　　A',B,Cが一直線上にあればいい、ので、
・A'とCを結ぶ直線を描く。
・元の直線と今描いた直線の交点がB

こういうふうにして解きます。

Cの対称点C'を求めて、AC'と直線の交点を求めて、
でも、同じことになります。

空間内の平面で反射する＝AB+BCが最小に
なるようなBの位置を求める場合も、
話は全く同じです。

A(1,2,3)の、平面2x+y+z=1についての対称点A'を求めるには、
・AA'の中点が平面上にある。
・AA'と平面が垂直である。
を使います。

実際には、

平面の法線ベクトルは(2,1,1)だから、
↑OA' = ↑OA + ↑AA' = (1,2,3) + t(2,1,1) = (1+2t, 2+t, 3+t)、
すると、AA'の中点は(～)で、これが平面上にないといけないから、
平面の方程式に代入して、～=1、これを解くと…

のようにして求めるのが簡単かと。

後は、A'Cと平面の交点を求める訳ですが、
これも、BはA'C上の点なので、
↑OB = ↑OA' + s↑A'C のようにして、
Bの座標＝成分を、平面の式に代入して、
方程式を解けば、いいでしょう。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

rnakamra

A,Cから平面に下ろした垂線の足をD,Eとする。
Bは線分DEをAD:CEに内分する点になります。

回答No.2

151A48

平面の法線ベクトルが(2,1,1)なのでＡから平面に下ろした垂線の足をＨとするとＨの座標は　
(1,2,3)+t(2,1,1)=(1+2t, 2+t, 3+t)　これを平面の方程式に代入して　t=-1
従ってＡに平面についての対象点をＡ’とするとＡ’は
(1,2,3)-2(2,1,1)=(-3,0,1) ：AHを２倍にのばした。
ベクトルＡ’Ｃ＝(6,2,1)　と計算できるのでＢは
(-3,0,1)+k(6,2,1)=(-3+6k, 2k, 1+k)・・・＊
これを平面の式に代入してk=2/5と出せる。＊式にもどして答え。