ロジスティック成長の方程式について

質問

dx/dt = ｒx{1- (x/x∞)^(a-1)} (a>1)

上記式の抑制された個体数について　xを解いて
どんなモデルになるか教えていただけますでしょうか。　
（またどのようなグラフになるのでしょうか）
x∞はxの飽和状態を表しています。

dx/dt = ｒｘ(1-x/K)のような式はある程度、
理解できますが、(a-1)の階乗が付くとどうやって
解けばいいかわかりません
宜しくお願いします。

回答No.3

FT56F001

>x∞は飽和状態ですが、xがx∞より大きくなることも考えられるのでしょうか。
この微分方程式では，
0<x<x∞の初期値からスタートすれば，x→x∞かつx≦x∞，
x∞<xの初期値からスタートすれば，x→x∞かつx≧x∞，
です。
(人口が飽和人口を超える初期状態とは，生態学モデルとしては特殊な条件でしょうけれど)

お礼

再度のご回答ありがとうございます。
初期値のとりかたによって、分けられること了解しました。
また不明な点がでてきた際は、質問させていただきます。

回答No.2

FT56F001

r>0と仮定すると，
x>x∞のとき(x/x∞)^(a-1)>1なので，r{1-(x/x∞)^(a-1)}>0
x<x∞のとき(x/x∞)^(a-1)<1なので，r{1-(x/x∞)^(a-1)}<0
すなわち，成長率r{1-(x/x∞)^(a-1)}はx-x∞の符号によって変り，
人口(個体数)x(t)はt→∞のとき，x∞に落ち着く方向に変化することが分かります。
元のロジスティク方程式
dx/dt = ｒｘ(1-x/K)
は，a=2の場合ですが，定性的には
dx/dt = ｒx{1- (x/x∞)^(a-1)} (a>1)
と大きく変わらないように思います。
違うとすれば，人口xが飽和人口x∞に近づいたときの成長率の変化の鋭さが，aによって変ることではないでしょうか。

差分近似して漸化式を作るなら，
x[n+1]=x[n]+r*Δt*{1-(x[n]/x∞)^(a-1)}
となります。数値をいろいろ入れて計算機でグラフを作って眺めるのが早道かも。

お礼

dx/dt = ｒｘ(1-x/K)と基本的には変わらないことや
漸化式もご提示していただき、とても参考になるご回答ありがとうございます。
ｒ、aに適当な数値を選んでグラフをつくってみたいと思います。
ところで、x∞は飽和状態ですが、xがx∞より大きくなることも
考えられるのでしょうか。

回答No.1

noname#152422

「抑制された個体数」、「モデル」、「飽和状態」、「階乗」の意味がわからないので、単にその微分方程式を解きました。

r≠0、x∞≠0とすると、変数分離型なので解が計算できて、

t=(1/r)log[|x|/{|1-(x/x∞)^(a-1)|^(1/(a-1))}]+c

あるいは、x≡0またはx≡x∞のいずれかの格好になりました。cは積分定数です。

x≡0またはx≡x∞でなければ、この逆関数が求める解となるわけですが、1対1ではないので必ずしも存在するとはいえないようです。r、x∞、aの値になんらかの制限を加えれば逆関数が存在しそうです。上記の対数を使った形をグラフに描いてみて、tとxを反転させて眺めるのが手っ取り早いと思います。

r、x∞、aの値によってグラフの形状が異なってしまうので、tを含めて4変数で5次元空間にグラフを描くのでない限り、具体的な数値を指定してから描くのがいいと思います。

お礼

どうもご丁寧なご回答ありがとうございます。
変数分離型で解けることが分かり参考にさせていただきます。
グラフも具体的な数値を設定してみます。
あと、
r△ｔXn+1/X∞^（a-1)・(1+r△ｔ) =
r△ｔXn/X∞^(a-1)・(1+r△ｔ) ・ {1-r△ｔXn^(a-1)/X∞^(a-1)・(1+r△ｔ)}
と変形して、Xn+1 = AXn(1-Xn) のような漸化式にして解けるかも考えています。