電場・電界

質問

厚さ1mm、40mm四方くらいの正方形の鉄板に電圧を印加させ、その平面側に半径15mmの鉄球を、50μmくらいまで近づけると、どのような電界が生じるのでしょうか？

板面と球との、最も近い点では、E=V/d　だと思うのですが、その周りの状態が良くわかりません。離れていくにつれて、弱くなっていくのだと思うのですが、どんな感じに変化していくのかを教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.5

keyguy

しかし板は小さすぎるように思えます。：

板の端の部分の電荷分布を問題にせず両者の近接部分の分布が分かればいいのであれば胸像法でやったほうが楽でしょうね？

回答No.4

keyguy

一定回転であって球の中心と板の中心とを結ぶ直線が板面に垂直で回転軸が球の中心を通り回転軸と板との角度が45度ですね？

もし球が抵抗0の完全導体ならば回転で変わろうとしている電荷配置が修正され結局電荷配置が変わらないので電界分布は変わらないでしょうね？
しかしこの辺は球の抵抗と回転数との兼ね合いで決まるでしょう。回転が遅いので大丈夫でないでしょうか？
板が球に比べて十分広ければ鏡像法が使えるでしょう。
しかし板は小さすぎるように思えます。

回答No.3

ryn

鏡像法というやり方を用いて計算することが可能です。
電磁気学の教科書には出ているものもあると思います。

ご質問の状況に近いものとして
参考URL の
「鏡像法による平板導体と点電荷」
を見ると電界のだいたいの感じがつかめるかと思います。

参考URL：

http://aquarius10.cse.kyutech.ac.jp/~otabe/denjiki/

回答No.2

keyguy

球を回転させる（液体を流動させる）と、この電場は変化するのでしょうか？:

一定回転であって球の中心と板の中心とを結ぶ直線が板面に垂直だと対称性から電荷分布の変化がないので導体外のEの分布は変化しないと思います。
そうでない場合でも回転が緩やかならばそれほど大きく乱されないでしょう。

その回転軸は球の中心をとおるのですね？

補足

軸心がついてあり、回転軸は球の中心を通ります。
ですが、この回転軸は板に対して垂直な線から45°傾いてあります。
回転数は一定で、液が飛び散らない程度（100rpmもありません）にしてあります。

回答No.1

keyguy

無限遠点の電位を0とします。
まず、板と球を接近する前の板の電位をVとしたときに板と球を接近する前に板にどれだけの電荷に帯電するかを求めなければなりません。
導体の外ではマックスウェルの方程式から
∇×E=0
よって導体の外で電位ψが存在して
E=-∇ψ
また導体の外ではマックスウェルの方程式から
∇・D=0すなわち∇・E=0すなわち
∇^2・ψ=0
導体表面でψ=Vとし
導体の外で∇^2・ψ=0を解き導体の外のψを求める。
(コンピュータ計算になる。)
ψがもとまればガウスの法則により導体表面の電荷面密度をσとし導体外の誘電率をεとし導体表面外向き単位ベクトルをｎとし
σ=-ε・∇ψ・n
板の電荷をQとすると
Q=-ε・∫(板の表面)・∇ψ・n・dS
(板の表面で面積分)
どうしてQを求めていなくてはならないかは板と球を接近させると板の電位及び球の電位が変化するからです。
板と球を接近する前の球の電荷は0です。

球と板を接近させた後は板の電位をV1とし球の電位をV2とし
導体の外で∇^2・ψ=0を解き導体の外のψを求める。
(この時点でψはV1とV2をパラメータに持つ。)
Q=-ε・∫(板の表面)・∇ψ・n・dS
となるようにV1を決定し
0=-ε・∫(球の表面)・∇ψ・n・dS
となるようにV2を決定し真のψが求まる。
導体内はE=0であり
導体外はE=-∇ψである。

補足

丁寧に解説していただき、ありがとうございます。
ここからさらにお聞きしたいことがあるのですが・・・

板を液体に浸した状態で、球を近づけ、一定距離を保ったまま、球を回転させる（液体を流動させる）と、この電場は変化するのでしょうか？
液体の性質や体積、球の回転数などによって、なんとなく、複雑に変化するのだろうと思うのですが・・・

どうかよろしくお願いします。