自分の答えと友達の答えがあいません。

質問

1.l=∫√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt
2.S=∫|y|dx=∫|y|(dx/dt)dt

なんですが、友達と答えが合いません、
どなたか　お答え願えませんか？
複数人の回答があると助かります。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>自分の答えと友達の答えがあいません。
質問するなら
質問者さんと友達の答えを途中計算を付けて書くようにして下さい。

他の質問の投稿の中の回答の引用式なら
その投稿を引用すべきです(投稿マナー)。
>質問番号：7261059

それによれば
　x=cos^3(t),y=sin^3(t) (0<=t<=π/2)
　dx/dt=-3sin(t)cos(t)^2
　dy/dt=3cos(t)sin(t)^2
　√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}=3sin(t)cos(t)=(3/2)sin(2t)
L=∫[0,π/2] (3/2)sin(2t)dt=[-(3/4)cos(2t)] [0,π/2]
　 =(3/4)[1-(-1)]=3/2

　S=∫[0,1]|y|dx
　 =∫[π/2,0]|y|(dx/dt)dt
　 =∫[π/2,0] sin^3(t)(-3)sin(t)cos^2(t) dt
　 =-3∫[π/2,0] sin^4(t)cos^2(t) dt
　 =-3∫[π/2,0] {sin(t)cos(t)}^2*sin^2(t) dt
　 =-3∫[π/2,0] {sin(2t)/2}^2*(1/2){1-cos(2t)} dt
　 =-(3/8)∫[π/2,0] {sin(2t)}^2*(1-cos(2t)) dt
　 =-(3/8)∫[π/2,0] (1/2){1-cos(4t)}*{1-cos(2t)} dt
　 =-(3/16)∫[π/2,0] {1-cos(4t)-cos(2t)+cos(4t)cos(2t)} dt
cos(4t),cos(2t),cos(4t)cos(2t)の周期はπ/2なので1周期の積分はゼロとなるから
　S=-(3/16)∫[π/2,0] dt
　 =-(3/16){0-(π/2)}
　 =3π/32

となります。

お礼

すみませんでした(__)
初めての質問でいまいち要領がつかめてない部分があり、失礼しました。
回答者様のおっしゃる通りです(-_-;)

回答ありがとうございます。
詳しく途中計算まで教えていただき、間違えていたところが発覚しました!!
丁寧な回答ありがとうございました<(_ _)>

回答No.6

151A48

dx/dt=-3cos^2(t)sint, dy/dt=3sin^2(t)cost
(dx/t)^2+(dy/dt)^2=9cos^4(t)sin^2(t)+9sin^4(t)cos^2(t)=9cos^2(t)sin^2(t)
これのルート＝3sintcost=(3/2)sin2t
これのt：0～π/2での定積分＝3/2

∫|y|(dx/dt)dt=-3∫sin^3(t)cos^2(t)sintdt=-3∫sin^4(t)cos^2(t)dt　
∫の中　sin^2(t)cos^2(t)sin^2(t)={(sin2t)/2}^2・sin^2(t)=(1/4)(1-cos4t)(1/2)(1-cos2t)(1/2)
=(1/16)(1-cos2t-cos4t+cos4tcos2t)=(1/16){1-cos2t-cos4t-(1/2)(cos6t+cos2t)}
=(1/16){1-(1/2)cos2t-cos4t+(1/2)cos6t}
これのt：π/2～0での定積分＝-π/32　これに-3を掛けて3π/32
*∫|y|dxの定積分x：0～1なのでtに変換したときt：π/2～0
計算間違いしてたら御免なさい。

お礼

ありがとうございます!(^^)!
とてもすっきりしました。
丁寧な回答ありがとうございます<(_ _)>

回答No.5

ferien

>1.l=∫√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt
与式＝∫［０→π/2］３sintcostｄｔ　ｕ＝sintとおくと、ｄｕ＝costｄｔ
　　＝∫［０→１］３ｕｄｕ
　　＝3/2
>2.S=∫|y|dx=∫|y|(dx/dt)dt
Ｓ＝∫［０→１］ｙｄｘ
　＝∫［π/2→０］sin^3t・３cos^2（－sint）ｄｔ
　＝３∫［０→π/2］sin^4t・cos^2tｄｔ
　＝３∫［０→π/2］sin^4t・（１－sin^2t）ｄｔ
　＝３｛∫［０→π/2］sin^4tｄｔ－∫［０→π/2］sin^6tｄｔ｝
　＝３｛(3/4)(1/2)(π/2)－(5/6)(3/4)(1/2)(π/2)｝
　＝３・(3π/16)・(1/6)
　＝3π/32

お礼

ありがとうございます。
大変参考になりました。<(_ _)>

回答No.4

info22_

#3です。

A#3の訂正

>cos(4t),cos(2t),cos(4t)cos(2t)の周期はπ/2なので1周期の積分はゼロとなるから

正：cos(4t)の1周期はπ/2なので範囲[π/2,0]の積分はゼロ,またcos(2t),cos(4t)cos(2t)の(1/2)周期はπ/2なので範囲[π/2,0]の積分はゼロとなるから

と訂正します。数式に影響はありません。

回答No.2

ryouchn

すみません(-_-;)
パスワードを忘れてしまい、この式だけでは計算できないことに気付いたのですが、編集できませんでした。
不慣れですみません・・・
先ほど質問した者です。

で、式なんですが、
ｘ＝cos^3tとy=sin^3tの連立です。 （0〈=t<=π/2）

本当にすみません<(_ _)>

回答No.1

151A48

これだけでは答えようがありません。