統計学の問題です

質問

正規分布、次の問題をお願いします。

ある学校の入学試験に５００人の応募があった。試験の結果、１００点満点
で平均点は７０点、標準偏差は５点であった。上位３００人を合格とするとき
、何点以上が合格となるか。ただし受験生の得点は正規分布に従うと仮定する。

模範解答では
μ＝70 σ＝５

500-300/500=0.4=P(Z≧ x-70/5)=P(-0.255≧x-70/5)

正規分布表より P（0.25≧ｚ）＝0.5987
P(0.26≧ｚ）＝0.6026

したがってx-70/5=-0.255から、ｘ＝68.725

よって６９点以上

とあるのですが-0.255というのはどこから出てきた何を表す値なのでしょうか？

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

> 上の模範解答ではよくわからなかったので
> もう少し丁寧な解答を新しく作って頂けないでしょうか

ということは、ANo.1でもよくわからなかったということでしょうか？

受験生の得点は正規分布に従うと仮定しているので
(受験生の得点-平均)/標準偏差
と変換してグラフを描くと標準正規分布になるということです。

500人のうち上位300人ということは、上位から6割のところを合格（下位から4割を不合格）にしたいとうことなので、合格点をxとすると、(x-70)/5が標準正規分布の上から6割（下から4割）の点と一致する必要があります。
標準正規分布のその点はANo.1でも書いたように-0.255なので
(x-70)/5 = -0.255
x = 70-0.255×5 = 68.725
となり、点数は整数値なので69点以上が合格となります。

と書いてみましたが、やっていることは模範解答と違いはありませんね。

回答No.1

noname#227064

求めたい数値は、平均が70、標準偏差が5の正規分布で下側確率が0.4となる値ですが、その問題で使用している正規分布表にはちょうど0.4となる値が載ってないのでしょう。
正規分布の対称性を利用すれば0.6となる値でも良いのですが、

> 正規分布表より P（0.25≧ｚ）＝0.5987
> P(0.26≧ｚ）＝0.6026

というような値しかないので、中間の値(0.25+0.26)/2=0.255を下側確率0.6となる値とし、これから0.4となる値を-0.255としたのです。

答に影響はありませんが、線形補間した-0.253を使う方が良いと思います。

それと
> 500-300/500=0.4
という書き方は
500-(300/500)=0.4
と解釈されますので、誤解されないように括弧を十分に使いましょう。

補足

上の模範解答ではよくわからなかったので
もう少し丁寧な解答を新しく作って頂けないでしょうか
お願いします