この積分が解けません 編入試レベル

質問

∫（0→π）∫（0→1） {√x^2+y^2}dxdy

かなり難しいらしいです。

ルートの中身がx^2+y^2です。

回答No.2

151A48 · ベストアンサー

√(x^2+y^2)のxについての積分は公式があるので，yは定数として扱い
(1/2){√(y^2+1)+(y^2)log((1+√(1+y^2))/y)}　です。　　括弧をいっぱいつけましたが，式の意味わかります？
次に　√(y^2+1)の部分は上で使ったのと同じ公式が使え，２番目の要素は
log((1+√(1+y^2))/y)の微分が-1/y√(1+y^2)になることに注意して部分積分します。途中で
y^2/√(1+y^2)の積分がでると思いますが，分子をy^2+1-1とすることで√(y^2+1)とその逆数の積分に還元できます。いずれも公式あり。
公式は適当な書物で確認なさってください。私なりに答えを出してみたのですが，logとπを含む面倒な式になったのでタイプするのがいやになりました。ごめんなさい。

お礼

良く分かりました。
ありがとうございます。

回答No.1

info22_

x,yの積分範囲がx:0～1でy:0～πとしておきます。
（数式処理ソフトを利用して積分して見ました）

I1=∫{√(x^2+y^2)}dx
　=(x/2)√(x^2+y^2)+(1/2)(y^2)arcsinh(x/y)+C
I2=∫[0,1] {√(x^2+y^2)}dx=(1/2)√(1+y^2)+(1/2)(y^2)arcsinh(1/y)
I3=∫I2 dy
=(y/3)√(1+y^2)+(1/6)arcsinh(y)+(1/6)(y^3)arcsinh(1/y)+C
I4=∫[0,π] I2 dy=I3|(y=π)-lim(x→0)I3
=(π/3)√(1+π^2)+(1/6)(π^3)arcsinh(1/π)+(1/6)arcsinh(π)