近似する正規分布の式について

質問

コインを投げて、オモテが出たら得点1、ウラが出たら得点-1とします。コインを10回投げたときの得点の和を記録する試行をN回（たとえば１０００回）繰り返したとき、横軸を得点の和、縦軸を得点の出た回数として、収束する正規分布の式はどうなるのでしょうか。

いろいろと試してみたのですが、よくわかりませんでした。回答おねがいします。

回答No.4

stomachman · ベストアンサー

ANo.3訂正です。

　ANo.３をupしてからご質問をもう一回読んだら、「コインを10回投げたときの得点の和を記録する」のが１回の試行なのでした。そして、得点が(-10～10)のどれになったか、というヒストグラムを作る、という話でした。（ANo.3では、1000回コイントスしたときの合計得点の分布について語ってしまっています。すんません）

　だとしますと、k回試行を行った時に得られるであろう最も尤もらしい度数分布は、横軸をzとするとき
k B(k, p, (z+10)/2)
です。しかし、コイントスも10回ぐらいになると、大雑把になら正規分布で近似できます。すなわち、(ANo.3を使って、さらに度数なのでk倍して）
　k N(0,10)(v)
ですね。
　でも、ANo.3の話とは違って、これに収束するわけじゃありません。なぜなら、何回試行しようとも「横軸」は-10～10までの21通りの区切りしかないのですから。

回答No.3

stomachman

[1] 表が出る確率がpであるコインをk回投げて、丁度r回が表になる確率は
　B(k,p,r) = (kCr) (p^r) ((1-p)^(k-r))
です。Bの平均は m= kp, 分散は σ^2 = kp(1-p) です。

なお、偏りのないコインの場合ならp=1/2です。

[2] kが大きいとき、B(k,p,r)は「平均m,分散σ^2の正規分布N(m,σ^2)(r)」で近似できます。

[3] ご質問の場合、表=1点、裏=-1点ということですから、k回の合計点数をvとすると
　　v = r - (k-r) = 2r-k
これをrについて解くと
　　r = (v+k)/2
ですから、k回でv点になる確率は[1]より B(k,p,(v+k)/2)。
　これを近似する正規分布は [2]より
　　N(kp,kp(1-p))((v+k)/2)
　　=N(k(2p-1),4kp(1-p))(v)
です。そして、p=1/2, k=1000なら、近似する正規分布は
　　N(0,1000)(v)
ですね。

回答No.2

ShowMeHow

ディスクリートだから、正規分布に収束しないんじゃないかな。

回答No.1

Tacosan

どう「いろいろと試し」て, 何がどのように「よくわからなかった」のでしょうか?