正規分布

質問

正規分布を勉強し始めたところです。

いくつか問題をやってみたのですが模範解答と答えが合わない、私の分布表の見方が正しいかどうか自信が無い、で困っています。

質問１）　問題→ Given that X～N(20,16), find:　P(17≤ X ≤ 27)
回答　→　0.7333
私の出した答え　→ 0.6865
模範解答の途中式も(0.9599 – (1 – 0.7734)で　私は間違っていると思うのです。私は(1-0.7734)+(0.9599-0.5)=0.6865　です。

質問２）問題は画像通りです（すみません一番上に写っている =0.7333は関係無いので無視して下さい。
わからないのは下の方に鉛筆で書き込んでいますが
正規分布表から得た数字が私のとは違うのです。

昨日こちらで違う質問をした時
「正規分布表には、バリエーションが ある」というのを初めて知りました。
が、私の使っているのは模範回答者のと同じでP(Z ≦ t) の表です。
ですから私の表の読み方が間違っているのかどうか教えて欲しいのです。
0.714 .....の私の読み方→　まず左端から0.71が 0.7611 それに右端から4 →12 をプラスして 計0.7623になります。（うまく書けなくてすみません）
私の表の読み方は間違っていますか？

質問３）質問１の問題では　≤　 質問２の問題では　<　　を使っています。
この違いはこの場合考慮しなくていいのですか？
模範解答では配慮していないのですが...

質問が多くてすみません、どうぞ宜しくお願い致します。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

質問３）
正規分布は連続分布ですので、≤でも<でもこの場合問題ありません。
連続分布の場合
P(X = c) = 0
であることから
P(X ≤ c) = P(X < c)
となるのです。

質問１）
貴方が間違えています。
標準正規分布が原点で対称なので
φ(-c) = 1 - φ(c)
であることに注意すれば、
P(17≤ X ≤ 27) = P((17-20)/4 ≤ (X-20)/4 ≤ (27-20)/4)
= P(-0.75 ≤ (X-20)/4 ≤ 1.75)
= P((X-20)/4 ≤ 1.75) - P((X-20)/4 < -0.75)
= P((X-20)/4 ≤ 1.75) - P(0.75 < (X-20)/4)
= P((X-20)/4 ≤ 1.75) - (1 - P((X-20)/4 ≤ 0.75))
= φ(1.75) - (1 - φ(0.75))
となります。

質問２）
表の読み方はあっているようですね。
Rを使って幾つか数値を求めてみると、
φ(0.71) ≒ 0.7611479
φ(0.714) ≒ 0.7623864
φ(0.7144) ≒ 0.7625101
φ(0.715) ≒ 0.7626955
φ(2) ≒ 0.9772499
φ(0.714) - φ(0.71) ≒ 0.0012384
となりますので、

> 0.714 .....の私の読み方→　まず左端から0.71が 0.7611 それに右端から4 →12 をプラスして 計0.7623になります。

は間違ってはいません。
模範解答は以下のように補間して求めたのかもしれません。
φ(0.714...) ≒ φ(0.71)+(φ(0.715)-φ(0.714))×(0.71444-0.714)/(0.715-0.714)
≒ 0.7623+(0.7627-0.7623)*0.44
≒ 0.762476

お礼

私の質問にひとつひとつ丁寧に答えて頂き助かります、何もかもはっきりしました。
貴重なお時間を頂き感謝いたします、有難うございました！！