高校レベルの物理問題ですが。。。。。。

質問

速さに比例する空気抵抗を受けて落下する粒子がある。この粒子が一定の距離を落下するに必要な時間は、粒子の密度が半分になるとどれだけかかるか。また、半径が半分になると、その時間はどうなるか。
（答）２倍、４倍

という問題です。答えがありますが、分からなくて。
解答をお願いします。

回答No.1

Tarow1 · ベストアンサー

質問者様の問題は、"終端速度に達してから"一定の距離を落下するに必要な時間を求めるものですよね？
終端速度とは、時間をかけて加速を経て、「もうこれ以上加速できない」という状態の速度です。
以下、終端速度に達してからだと考えて回答を書いてみますね。（そうでなかったら答えと合いませんので）

粒子が受ける「速さに比例する空気抵抗」を、kv（k:比例定数,v:粒子の速さ）とします。
粒子が受ける力は、重力mg（m:粒子の質量,g:重力加速度）と空気抵抗kvですので、運動方程式は、
ma=mg-kv（a:粒子の加速度,F:粒子にかかる力）となります。
ここで、終端速度に達すると、加速をしなくなるので、加速度a=0を上式に代入します。すると、
0=mg-kv となり、この式を速さvについて整理して、
v=(mg)/k となります。これが終端速度の式です。
問題文中に「一定の距離を落下するに必要な時間」とありますが、その中の「距離」をxとし、「時間」をtとしてみます。
すると、v=x/t が成り立ち、（これの右辺）＝（終端速度の右辺）としますと、
(mg)/k=x/t となり、これを時間tについて整理して、
t=(kx)/(mg)（この式を以下＊と書きます）となります。問題の答えにだいぶ近づきました。

(i)粒子の密度が半分になると時間はどれだけかかるか？
粒子の密度が半分のときかかる時間をt_iとおきます。
密度が半分になると、質量も半分になりますね。ということは、＊のmが1/2・mになったと考えればよいです。
t_i=(kx)/{(1/2・m)g} ですね。整理すると、
t_i=2・(kx)/(mg)となりまして、*と比較すると、t_i=2tとなりまして、答えの「2倍」が分かりました。

(ii)半径が半分になると時間はどうなるか？
半径が半分になると、質量mは8分の1になり、空気抵抗kは半分になります。（空気抵抗はrに比例）
(i)と同様に解けば答えの「4倍」が出ます。

(補足)なぜ、密度が半分になると質量が半分になり、半径が半分になると質量は8分の1になるか書いてみます。ご自分でお分かりなら、読まなくても良いです。
[密度]ある物体の質量をm、密度をρ（ローと読みます）、体積をV としますと、以下の関係が成り立ちます。
m=ρV
ここで、密度ρが半分になると、mが半分になりますよね。
[半径]ある物体の体積をv、半径をr としますと、以下の関係が成り立ちます。
V=4πr^3
ここで、半径rを半分にすると、Vが8分の1になりますよね。そして、Vが8分の1なら、質量も8分の1ですね。

空気抵抗がrに比例することが与えられていないのに、使っちゃいましたね。
お役に立てれば幸いです。

お礼

わかり易く書いてくれて、ありがとうございました。