扁球の切断面について

質問

扁球の切断面について
数学はまったく詳しくなくて、美術をやっていて浮かんだ疑問で
ちょと質問の仕方がわかりにくいかも知れませんが…

1.扁球を任意の面で切断した時、その切断面は常に楕円または円ですか?

2.楕円型に切り取った紙片を任意の角度(xyz全てok)に回転させて、上から光を当てた時、その影は常に楕円または円ですか？
(言い換えると観測者がその紙片を見た時のアウトラインの形が楕円であるかどうか)

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

数式のごちゃごちゃはイランということでございましょう。

1.について．
扁球 a(x^2+y^2)+(z^2) = 1 (a＞0) をx軸の周りにθだけ回転した図形をz=cの平面で切ることを考えれば十分．なので，断面の縁の方程式はこの式のyをycosθ-csinθで，またzをcsinθ+ycosθで置き換えたものですから、計算するまでもなく，切断面は点，楕円，円のどれかになることが分かります．

2.について．円, 楕円，または線分になります．
線分になる場合ってのは，紙片を真横から見ちゃったということ．
それ以外の場合は，観測者の視点を頂点とする円錐について，その円錐のある断面（楕円）を考えます．で，この円錐を円錐の軸に垂直な方向に潰して，底面が楕円になるようにしてやる．すると，円錐の断面も変形するけれども楕円のままです．
さて，適切な円錐とその断面と潰し方を選びますと，潰した円錐の断面が、任意の楕円が視点に対して任意の位置に置かれているものと一致するようにできます．このとき、観測者の視点からは（潰した円錐の側面を頂点から見ている訳ですから）円錐の側面上に描かれた図形は楕円または円(潰さないで済んだ場合)に見えることは明らかでしょう．

お礼

わかりやすい解答ありがとうございます！

スッキリしました！