円の面積の事で質問します。

質問

直径２５ｃｍの円が有ります、この円を３０度傾けた時、上から光を当てて出来た影は楕円形になると思うのですが、その楕円形と元の円は同じ面積になるでしょうか。
また、同じ面積の場合それを証明する計算式などを教えて頂けると有り難いのですが。
出来れば小学生レベルでも分かる解説をしていただけると有り難いのですが。
何方ご教授頂ける事をお願いします。

回答No.6

tadopikaQ

影の面積は、円の傾き、投影面の傾きによって様々に変化します。
又、光源から円までの距離、及び光源から投影面までの距離によっても、様々に変化します。

上記2つの要素によって、元の円の面積と、影の面積が等しくなることもあり得ます。

話を分かりやすくするため、
1) 太陽のように、光源が十分に遠くにあって、光線が平行に円に当たるものとし、
2) 又、投影面が平面である、
と仮定します。

この場合、影の形は、楕円になります。
影の面積は、光線に対する円の傾きと、光線に対する投影面の傾きによって決まります。

即ち、円の傾きが大きくなるほど、影の面積は小さくなります。
逆に、投影面の傾きが大きくなるほど、影の面積は大きくなります。

式で表すと、次の通りです。
光線と円の法線のなす角をα、光線と投影面の法線のなす角をβとすると、
（ここで、法線とは、平面に垂直な直線を意味します。）
影の面積は、元の円の面積に対して、(cosα/cosβ)倍になります。

α=βの場合は、cosα/cosβ=1 ですから、影の面積は、元の円の面積と等しくなります。
更に、α=βで、かつ円と投影面が平行な場合等には、影の形は円になります。

回答No.5

noname#252159

回答No.4です。
　無理矢理、周の長さを等しくするとなると
1)　楕円となって長さを変えなかった直径を元の円の直径よりも大きくする。元の円をはみ出した形の楕円となります。
2)　もう楕円ではなくなるのですが、ぐにゃぐにゃした曲線の楕円もどきの形となって周の長さをかせぐ。

　しかし、1)も2)も本来の質問からは大きく逸脱しているように思います。
　算数・数学的な思考力を小学生につけるとしたら、添付したような図で説明するのも1つの手法かもしれません。
［１］円の内部に左右の直径を固定したまま上下の直径を短くする。
［２］円も楕円も点対称だから、半分に切った部分で半円と半楕円で長さをくらべることと同じである。
［３］小学生は曲線どうしで長さを直接、比較する考え方は学習していないから、外部と内部の2つの三角形で長さを理解させる。その際、そうした三角形がもとの三角形の辺上に無数に作っていけば、半円なり、半楕円となるというイメージ的な説明を付け加えてあげて下さい。

回答No.4

noname#252159

小学生ですから、
　マッチ棒と円柱の形をした缶での説明を考えてみました。
1)　垂直に立てていたマッチ棒は傾けるにしたがって、テーブルからの高さは低くなる。
2)　缶の上のフタを1つの直径を軸にして30°傾けると、1)のマッチ棒で分かる通り、缶の底に映る影は左右で短くなる。光でも、垂直に降ってくる雨でもこのすき間で底まで落ちる。
(ただし、上のフタに当たって落ちる雨は考えないものとする)

補足

図まで書いていただきありがとうございます。
面積が小さくなるのでしたら円周の長さも短くなるのですね。
楕円の円周の長さを水平な円の円周と同じ長さにするにはどう言う手段が有るでしょうか。
厚かましいようですが、回答をしていただけると有り難いです。

回答No.3

bgm38489

円を傾けると、伸びる径はなく、縮む径だけなので、面積は小さくなる一方だと思います。
光線を傾けると、夕方に影が長くなるのと同じく、面積は大きくなるのでは。

お礼

光源を調整すると言う手も有りますよね。
ありがとうございます。

回答No.2

kkkkkm

ならないでしょう。できた楕円の片方は25cmですが片方の経は25cmより少ないわけですから楕円の方が面積は少なくなります。極端な話、90度傾けたときに影がどうなるか想像してみてください。

お礼

なるほど、９０度にすると円の厚さになりますね。
ありがとうございます。

回答No.1

jack-a3

たとえば90度傾けたら、上からの光に対する影は紙の厚さ分しかなくなりますよね。
じゃあ80度なら？70度なら？って考えていくと、もとの円と、光に対する影の面積は、傾きによって面積が変わることが直感的に分かるかと思います。
小学生レベルで説明するなら上記のような感じですかね？

傾きによってどれくらい面積が変わるか計算しようと思うと三角関数が出てくるので小学生レベルじゃなくなってしまいます。

お礼

なるほど、この説明ですと分かりやすいですね。
ありがとうございます。