f(x)=x^3-2x^2+xとし、f(x)上の点、P(a,f(a))と原点を通る直線をｌとする。
但し、0<a<1とする。
(1)ｌが、f(x)と原点、P以外の点Qで交わる。Qの座標をaを用いて表わせ。
C:y=f(x)=x(x-1)^2
l: y=[f(a)/a]x=[(a-1)^2]x
lとCが交わるのは
x(x-1)^2=[(a-1)^2]x
x[(x-1)^2-(a-1)^2}=0
x(x-a)(x-2a)=0
x=0: 原点, x=a:P, x=2-a:Q
QはC上の点であるとともにl上の点でもある。
Q(2-a, (2-a)(a-1)^2)
(2)f(x)とｌで囲まれたふたつの面積が等しくなる時、aの値を求めよ。
この条件は
I=∫(0→2-a){x(x-1)^2-[(a-1)^2]x}=0
で表される。
I=∫(0→2-a){x^3-2x^2+x-[(a-1)^2]x}=[x^4/4-(2/3)x^3+x^2/2-(a-1)^2x^2/2](0→2-a)
=(2-a)^2{(2-a)^2/4-2(2-a)/3+(1/2)[1-(a-1)^2]}
I=0になるときa<1なので
{(2-a)^2/4-2(2-a)/3+(1/2)[1-(a-1)^2]}＝0 （1）
ならよい
1-(a-1)^2=2a-a^2=a(2-a)
を用いて（1）は(2-a)がさらにく繰り出せて
(2-a)/4-2/3+a/2=0
3(2-a)-8+6a=0
a=2/3 (答え)
f(2/3)=2/27
(a,f(a))＝(2/3,2/27)は以下の理由によりCの変曲点である。
y'=3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)
x=1/3:極大、x=1:極小
y''=6x-4＝0
よりx=2/3は変曲点である。Cは変曲点に対して点対称でありlが変曲点を通る時対称性によりCとｌで囲まれたふたつの面積が等しくなる。
お礼
補足の疑問、判りました。 丁寧に解答を書いて頂き、有難うございました。
補足
>(2)f(x)とｌで囲まれたふたつの面積が等しくなる時、aの値を求めよ。 >この条件は >I=∫(0→2-a){x(x-1)^2-[(a-1)^2]x}=0 >で表される。 申し訳ありませんが、ここの意味が良く分からないのですが？