数学の質問です

質問

P(cost,sint)(0≦t≦π）がxy平面上にある。Pから距離ｄ（ｄ＞１）であるＱがＸ軸上の正にある。ＰＱの中点Ｒの描く曲線とＸ軸で囲まれる部分の面積を求めよです　これがわかりません
過程もおねがいします

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

中点Rの描く曲線は媒介変数表現で
R(x,y)=(cos(t)+(1/2)√{d^2-(sin(t)^2},sin(t)/2)
(0≦t≦π,(d/2)-1≦x≦(d/2)+1)

中点Ｒの描く曲線とＸ軸で囲まれる部分の面積S
S=∫[(d/2)-1,(d/2)+1] ydx
x=cos(t)+(1/2)√{d^2-(sin(t)^2}で変数変換
dx=-(sin(t)+(1/2)cos(t)sin(t)/√{d^2-(sin(t)^2})dt
x:[(d/2)-1→(d/2)+1]⇒t:[π→0]
y=sin(t)/2
より
S=-∫[π,0] (1/2)(sin(t))^2{1+(1/2)cos(t)/√{d^2-(sin(t)^2})dt
=(1/2)∫[0,π] (sin(t))^2{1+(1/2)cos(t)/√{d^2-(sin(t)^2})dt
(途中計算省略)
=π/4

中点Rの描く曲線（赤線）と求める面積Sの領域（黄色）の図を添付しておきます。

回答No.5

info22_

＃4です。

A#4の添付図です。

お礼

図までありがとうございます。感謝です。

回答No.3

rnakamra

Pの描く軌跡はすぐにわかると思います。

問題はQそしてRの軌跡。

QはPに合わせて動く点になります。とはいってもさほど難しくは無く、Q(x,0)として
PQ^2=(x-cost)^2+(sint)^2=d^2
としてxをtの式で表せばよいのです。所詮は2次方程式、解の公式を使えば簡単に解けます。解は二つありますが、x>0となる点は一つしかないでしょう。

Rの座標は
R((x+cost)/2,sint/2)となります。
Rのy座標が"0"になる点(Rの軌跡がx軸と交わる点)でのtの値は簡単に得られますので、そのときのRのx座標は簡単に計算できます。

後は
S=∫[X:X0→X1]YdX　　((X,Y)はRの座標)
とすればよいのですが、Xの積分からtの積分に変換したほうが簡単そう。計算はしていないけど。

お礼

速い解答ありがとうございます。図まで丁寧にかいてくださりほんと感謝です。

回答No.2

Willyt

まず、Ｐは減点から１の距離です。つまりｔの値によりその位置が変わりますが、半径１の円周上を動きます。一方、Ｑの座標は（ｄ、０）です。そうするとＲの座標は｛(d+cost)/2 , sint/2)となります。x=(cost+d)/2 y=sint/2 より、

cost=2x-d sint=2y これをピタゴラスの定理 sin^2t+cos^2t=1 に代入すれば、Ｒの描く曲線が求まります。積分の境界はこの図形とｘ軸が交わる二つの点の間です。　あとはご自分でどうぞ(^_^)

回答No.1

B-juggler

あらら、これがわからないか・・・。

難しく考えすぎてはいないかな？

点Ｐをよく見て？

Ｐが描く「絵」はどんな形かな？

原点から　点Ｐ　までの距離を　出してみると、

√（ｃｏｓ＾２ｔ＋ｓｉｎ＾２ｔ）＝１だね。

　＃まさかこれがわからないって事はないよね＾＾；

つまり、点Ｐが描く絵は、ｘ軸の上側、原点を中心とした半円だね♪

Ｑは　ｄ＞１　なんだから半円の外で　（ｄ、０）にあるんだね。

で、このＱと、Ｐの中点の軌跡だよね。

難点か適当にとって見ると、イメージできると思うよ～♪

まず「絵」を描く癖をつけたほうがいいのかもしれないよ。

こういうのは、数式だけでやれるようになるには、かなり大変だからね＾＾；

σ(・・*)未だに絵をかくもん（頭の中に＾＾；）

代数学の非常勤講師で、ストレス性の胃炎らしく死んでます～～。

がんばれ～。(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)