x軸に平行な2本の直線で、円の面積を半分に分ける

質問

数学の質問です。

半径rの円（x^2+y^2=r^2）に対して、y=k, y=-k (0<k<r)の２本の直線をひきます。
ｙこの２本の直線に挟まれた部分の円の面積が、
円全体の面積(πr^2)の半分になるためには、
kの値をどのようにとればよいでしょうか。

自分で解いてみましたが、「 k = ～」といったきれいな形の答えを出せずにいます。
解法の分かる方、アドバイスをお願いします。
（申し訳ありませんが急ぎですので早めにご記入いただけると大変助かります）
よろしくお願いします。

回答No.3

staratras · ベストアンサー

積分を使わない解法です。

ご質問の円の図はx軸に対称なので、真ん中の部分の面積が円全体の半分であれば、
円のうちy=kより上の部分の面積は円全体面積πr^2の4分の1、つまり(πr^2)/4 になります。

添付した図の角をθ(ラジアン）としますと、円のうちy=kより上の部分の面積は
扇形の面積から二等辺三角形OABの面積を引いたものです。
(図は簡単にするためr=1の場合です)

扇形の面積は円の面積×扇型の中心角/2π
二等辺三角形OABの面積は(1/2)×半径＾2×sin(頂角)　なので

πr^2×θ/2π-(1/2)r^2×sinθ=(πr^2)/4 が成り立ちます。
両辺をr^2で割って2倍し整理しますと

θ-sinθ=π/2

この方程式は見かけは簡単ですが解くのは簡単ではなく、
ご質問の通り、最終的にk=…というきれいな形にはなりません。
エクセルのゴールシーク機能を使って近似解を求めますと
θ≒2.3095　となりました。

さらに逐次近似法で計算しますと
θ≒2.30988　になりました。　(円周：360度=2π　よりθは264.69度くらい）

求めるy=k の式で　kの値はk=rcos(θ/2) なので　
求める2直線は　y≒±0.404r くらいです。

お礼

シンプルな公式で説明されていて非常にわかりやすいです。
また具体的にθの近似解からkの値まで導いていただき、助かりました。
お陰様で期限にも間に合いました。
丁寧かつ迅速にご回答いただき、ありがとうございました。

回答No.2

spring135

質問者は積分、三角関数、三角関数の積分がわかりますか。

解らないものがあれば残念ながら答えは得られません。

また、答えはk=f(r)という形には書けません。

sinα=k/r

を満たす角αを用いるとαは

sinαcosα+α=π/4

を満たす角ということです。

お礼

もう何年も前に習ったため大分忘れてしまっていると思います。
k=f(r)の形では表せないのですね。
それがわかっただけでも助かりました。
ありがとうございました。

回答No.1

nananotanu

積分の公式で挟まれた部分の面積をｋの関数であらわしたら？

お礼

早速アドバイスいただきありがとうございます。。☆

第１象限のみを考えて積分し、
1/2・r^2・arc sin(k/r)+ 1/4・sin(2・arc sin(k/r)) = 1/8・πr^2
（第１象限でx軸とk軸に挟まれた部分が、円の面積の1/8になる）
という式を導きました。

しかしこの式から「k = ～」という答えを得る方法がわからず止まっています。
もし導き方がわかりましたら、教えていただけると助かります。

補足

ごめんなさい、k軸ではなく直線y=kです。