何故線型空間はあっても、非線形空間はないのですか？

質問

数学的空間がよく分からなくてwikipediaで見てみたのですが、これは構造の入った集合だと説明されていました。
更にその構造の項目を見てみると、順序構造や、代数的構造や、位相構造が例に挙げられていました。
しかし空間は大きく分けて「線形空間」と「位相空間」がベースだと書かれており、大体の数学的空間はこの二つから派生しているように思えました。

ここで疑問に思ったのですが、何故代数的構造の中でも「線型」の代数のみが空間として扱われているのでしょうか？
また順序構造は空間として扱えないのでしょうか？
それとも私が理解していないだけで、これらも空間として扱われているのでしょうか？

何か、基礎の基礎を理解していないようで申し訳ないのですが、ご教授いただければ助かります。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

ありますよ。
ただ、「非線型空間」ではなく、
「多様体」という名前になっています。

お礼

あぁ、多様体ってそういう類のものだったんですか。
ちょっと調べてみようと思います。
ありがとうございます。

回答No.1

kabaokaba

＞基礎の基礎を理解していないようで申し訳ないのですが、ご教授いただければ助かります。

そうですね，理解してません．
言葉もおかしい．「教授」ではなく「教示」でしょう．

「線型」ではないものを「非線形」というのです．ただそれだけです．
線型はその性質のよさから広い応用範囲をもち
その分研究され尽くしており「線型」という「一大分野」をなしていているのです．
そして「線型」である場合は「線型」と冠しておけば
分かる人にはだいたいこんなもんかなとかいう感じで
話が通じるのです．
だから「線型」とつけておけば便利なのです．

逆にいえば「線型」とついてない
ほかの大多数のものは「非線形」です．
分野としての広さは線型の比ではない（標語的にいえば「∞倍」）ので
いちいち「非線形」なんていわないのです．

ちなみに，順序だけが入っても，「古典的な数学」ではうれしくないのですが，
コンピュータの発達とともに有力になってきた分野，
情報理論よりの離散数学，グラフ理論なんかでは立派な「空間」です．

数学において「空間」と「集合」はほぼ同義だと思っていいです．
ニュアンスとしては「空間」ってのは
「集合」にくらべて「何かの構造」が入ってるかもよというような暗黙の主張がありますが，
議論をする際にはかならず明確に構造が規定されますので
誤解は発生しません．

お礼

回答ありがとうございます。
あぁ、本当だ。思いっきり言葉間違えてますね。教示だ。

要するに非線形というのは、線型という構造を持っていないもの全体を漠然と指している。特定の構造を持っていないものを指しているということは、それ自体を構造として扱って議論することができない。
そういう感じですかね。

代数的構造を持つというだけでは、あまりにも範囲が広すぎて、議論するにはもう少し的を絞る必要がある。だから代数構造全体を扱う空間は、議論されない、くらいの感覚でしょうか？