量子化した電界の交換可能性
量子力学を独学で勉強しているのですが，8 時間ほど悩んで分かりません．教えて頂けないでしょうか？
生成演算子を a，消滅演算子を a†，波数ベクトルを k，プランク定数 h，誘電率 ε，モード体積 V，角周波数 ω_{k}，位置ベクトル r とします．またモードの偏光と伝播方向を同時に表すベクトルを υ とします．
このときベクトルポテンシャルを表す演算子 A および，電場演算子 E は
A = Σ_{k} (h / 4πεV ω_{k})^{1/2} υ
× {a exp(-i ω_{k} t + ikr)} + a† exp (i ω_{k} t - ikr)}
E = Σ_{k} i (h ω_{k} / 4πεV)^{1/2} υ
× {a exp(-i ω_{k} t + ikr)} - a† exp (i ω_{k} t - ikr)}
と表せます．また m, n をそれぞれ x,y,z のいずれかとして，υ のデカルト成分を υ_{m}，υ_{n} とするとき，
E_{m}，A_{n}に対する交換関係
[E_{m} (r), A_{n} (r')]
= (ih / 4 πεV) Σ_{k} ν_{m} ν_{n} {exp (ikr - ikr') + exp(-ikr + ikr')}
と表されます．ここまでは理解できました．
さらに，任意のベクトル場を V (r) とし，そのフーリエ変換を
V (r) = (1 / 8 π^{3}) ∫dk V(k) exp (ikr)
またベクトル場の縦成分と横成分への分解を
V (r) = V_{T} (r) + V_{L} (r)
∇・V_{T} (r) = 0
∇×V_{L} (r) = 0
とします．このとき
∫dr' [E(r)，A(r')・V(r')] = (ih / 2 πε) V_{T}
を証明したいのですが，うまく証明できません．教えていただけないでしょうか．
自分なりに展開してみたところ
∫dr' [E(r)，A(r')・V(r')]
= ∫dr' (ih / 2 εV) V(r') {exp (ikr - ikr') + exp (-ikr + ikr')}
かなとも思うのですが，この展開が正しいのか自信がないのと，正しいとして先に進めません．ご教授いただけないでしょうか．
補足
>> L(v^2+vε+ε^2)ではなくてL(v^2+2vε+ε^2)のような気がしますが、どうですか。 その通りです。すみません。書き間違えました。 >>εの冪での展開は、εに関するマクローリン展開のことだと思います。 この部分があまりよくわからないのですが、 L(v^2+2vε+ε^2) = Sigma_{n=0}^{∞} {∂L(v^2)/∂(v^2)}/{n!} * (v^2 + 2vε+ε^2-v^2)^n = Sigma_{n=0}^{∞} {∂L(v^2)/∂(v^2)}/{n!} * (2vε+ε^2)^n としてε^2の項を無視した形とした感じであってますか？ 通常のテイラー展開の形でいうと v^2+2vε+ε^2 = v^2 まわりで展開したと解釈してみたのですが、どうでしょうか。これだとεについてのって辺りが全然絡んでないんですが、一応うまくいった感じなのですが・・・。 なにぶん素人なもので、とりあえずこの辺りのことを詳しく教えていただけると嬉しいです。