最大約数

質問

与えられた自然数N=(p＾l)*(q＾m)　□で、l,mは0以上の整数について
(1)Nの正の約数の個数
(2)Nの正の約数の総和

(1)上記の問題の(1)のNの正の約数の個数が(l+m+1)(l+1)(m+1)となるように□に適する条件を書く問題で

回答はp,Qの最大公約数をrとするとp/r,q/r,rは異なる素数らしいのですがどうしてrを割るのですか？

(2)(1)の条件のもとで、(2)を解くと
p/r=a,q/r=bとおくと
N={(ar)＾l}*{br}＾m
＝(a＾l)*(b＾m)*r＾（ｌ+m)
Nの正の約数の総和は
S=((a＾0)+(a＾1)+…(a＾l))
((ｂ＾0)+(b＾1)+…(a＾m))
((r＾0)+(r＾l)+…(r＾(l+m)))
から
{1-a＾(l+1)}/1-a * {1-b＾(m+1)}/1-b *{1-r＾(l+m+1)}/1-r

になりますが
等比数列の和を利用して{1-a＾(l+1)}/1-a になるそうですが(l+1)がどのようにして現れたのか分かりません。

回答No.1

cafe_au_lait · ベストアンサー

こういうのは実際にやってみるに限ります。

(1)
約数の個数の求め方
Nを素因数分解します。
素因数をいくつずつかけるかの組み合わせが約数の個数になります。

72=2＾3*3＾2
3を0個・2を0個～3個　1,2,4,8
3を1個・2を0個～3個　3,6,12,24
3を2個・2を0個～3個　9,18,36,72
つまり、(3+1)*(2+1)=12

問題文のp,qは素数とは限らないので、さらに素因数分解をする必要があります。
たとえばN=10^3*15^2として、素因数分解し、数えてみてください。

(2)
(1-a)(1+a^2+a^3)、(1-a)(1+a^2+a^3+a^4)、(1-a)(1+a^2+a^3+a^4+a^5)
上記をそれぞれ展開してみてください。これを(1-a)で割っているのです。

お礼

N=10^3*15^2の場合rが５になるんですね。
やっと分かりました。
ありがとうございます。