確率変数４乗の期待値について

質問

ηは、平均0、分散σ^2の確率変数とします。

この時
E[η^4]＝3σ^4
と導出できるとテキストにあるのですが、
これが導出できません。

なぜ係数が3になるのでしょうか。
単純に、E[η^4]＝E[η^2・η^2]＝E[η^2]・E[η^2]=σ^4
では駄目なのでしょうか？

回答No.6

Tacosan · ベストアンサー

えぇと, まず
「疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。」
と
「聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥」
は矛盾するわけじゃないよね.

で, 「正規分布の尖度が標準偏差の4乗の3倍であること」自体は当然示すことができます. 努力と根性が好きな人なら定義に突っ込んで 2回ほど部分積分すればいい (その途中で「η P(η) の不定積分」が出てくる) し, 手を抜きたいなら積率母関数を考えればいい.

補足

えぇと, まず
「疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。」
と
「聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥」
は矛盾するわけじゃないよね.

お言葉、ありがとうございます。

『「正規分布の尖度が標準偏差の4乗の3倍であること」自体は当然示すことができます. 努力と根性が好きな人なら定義に突っ込んで 2回ほど部分積分すればいい (その途中で「η P(η) の不定積分」が出てくる) し, 手を抜きたいなら積率母関数を考えればいい.』

また重ねて、ありがとうございます。
私では手に負えないというのが、ひしひしと伝わってくるのですが、
指針がいただけ、誠にありがとうございます。
自分で調べながら、再度計算を試みたいと思います。

本当にありがとうございました。

回答No.5

rnakamra

>P（η）は、正規分布の密度を用い、実際に計算する。
>そうすれば、上記の関係が導出できると理解してもいいのでしょうか。

この言葉にはあきれた。
なぜ、この程度のこと自分で計算しようとしない。人ができるといわなければやらないのか。
単に具体的な表式を入れて計算するだけだろ。

疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。

たいたい#3の補足にある
>η P(η) が不定積分できる
>この点は理解できていると思っています。

からしてなにもやっていないということ。
#3の人が聞いているのはこの式の意味ではない!この不定積分が計算できるか、ということだ。
わかっているとは思うが、初等関数であらわされた関数の不定積分が初等関数で表されるとは限らない。実際、正規分布の関数P(η)は初等関数の範囲内では不定積分を得ることは出来ない。そのうえでηP(η)の不定積分ができるか、と聞いているのだ。

補足

「この言葉にはあきれた。
　なぜ、この程度のこと自分で計算しようとしない。人ができるといわなければやらないのか。
　単に具体的な表式を入れて計算するだけだろ。」

この点に関しまして、御怒りになられるのもごもっともかもしれません。
私は、数学に関しての能力は高くありません。
それでも、必要に迫られて自分なりに調べ、
出来るだけ失礼のないようにと思って質問したのですが、
それでもやはり、質問するに値しない能力だったのだと反省しております。
確率分布自体、理解しきれていないので、とても不安に思い、
お聞きしてしまいました。申し訳ございませんでした。

「単に具体的な表式をいれて計算するだけ」、
だとは思いますが、それが簡単ではない私としては、
出来ると理解をしたうえで、計算したいと考えました。
これを怠慢だとのご指摘は、全くその通りだと思います。

「疑問に思ったのなら先ず自分で考えろ。考える前に人に聞くな。」
これに対して、
「聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥」
という言葉もございます。聞かぬことで、わたく自身、
人よりも大きく後れを取っております。

「からしてなにもやっていないということ。
#3の人が聞いているのはこの式の意味ではない!この不定積分が計算できるか、ということだ。
わかっているとは思うが、初等関数であらわされた関数の不定積分が初等関数で表されるとは限らない。実際、正規分布の関数P(η)は初等関数の範囲内では不定積分を得ることは出来ない。そのうえでηP(η)の不定積分ができるか、と聞いているのだ。」

この点は、実際に自分で解けるかどうかを問題にしているということを理解できず、
一般的にできるかどうかを聞いていると考えた結果の補足です。
ただ、このような理解が正しいかどうかも不安な状態です。

回答No.4

rnakamra

#2のものです。

>∫[-∞,∞] 2ηη^3 P(η)dη＝
>　η^2η^3 -3∫[-∞,∞] η^2η^2 P(η)dη

?
この積分、P(η)の具体的な表式を入れないと無理です。(慣れた人なら一目でしょうが)
#3の方がおっしゃられるとおり、∫ηP(η)dη (不定積分)がわかっていれば簡単なのに。
#3の方が言っているのはこいつの定積分の値じゃないですよ。不定積分。それを利用してη^4*P(η)を部分積分する際の分け方を決めるんです。

ηP(η)の式とそれの不定積分を実際に計算してみてください。

補足

正規分布の尖度が標準偏差の4乗の3倍であることは調べました
（さも当たり前かのように、例示してありました）。
ということは、一般的に知られている。
何らかの証明がなされていると思いました。

P（η）は、正規分布の密度を用い、実際に計算する。
そうすれば、上記の関係が導出できると理解してもいいのでしょうか。

回答No.3

Tacosan

正規分布の確率密度関数 P(η) に対し
η P(η) が不定積分できる
ということはいいでしょうか?

補足

η P(η) が不定積分できる
この点は理解できていると思っています。

ηが値で、P（η）がそれに対する確率密度であると理解しています。

回答No.2

rnakamra

>E[η^4]＝E[η^2・η^2]＝E[η^2]・E[η^2]=σ^4

なら、
E[η^4]=E[η]*E[η^3]=0+E[η^3]=0にならないの?
それ以前に
E[η^2]=E[η]*E[η]=0
にならないの?

そんな計算成り立ちません。

あと、平均と分散のみでE[η^4]を出すことは出来ません。
確率密度関数が与えられている必要があります。
尖度が3であることからこれは正規分布だと思いますが、書いていないので推測に過ぎません。

実際に計算するには
E[η^4]=∫[-∞,∞]η^4*P(η)dη
を計算すればよい。
正規分布であれば、部分積分をつかいE[η^2]の式が出てくるように変形すればよいでしょう。

補足

おっしゃる通りです。正規分布です。

σ^2=∫[-∞,∞](η-0)^2 P(η)dηについて

ここで、
(η-0)^2=η^2より
σ^2=∫[-∞,∞]η^2 P(η)dηよって
σ^2=E[η^2]
となると思います。
この式が出てくるように部分積分を考えるとなると…。

∫[-∞,∞] 2ηη^3 P(η)dη＝
　η^2η^3 -3∫[-∞,∞] η^2η^2 P(η)dη

………間違っています。
どうしたらよいのでしょうか。

回答No.1

Tacosan

うん, これだけの条件では無理だね.

ところで
E[η^4]＝E[η^2・η^2]＝E[η^2]・E[η^2]=σ^4
としていいなら同じように
E[η^2]＝E[η^1・η^1]＝E[η^1]・E[η^1]=0
となっていいとは思いませんか?

補足

おっしゃる通りです。
わからないときは、自分でもよくわからないことを考えてしまいます。